2005 AMC 10A Problema 15

Question

¿Cuántos cubos positivos dividen a

3! \cdot 5! \cdot 7!

?

How many positive cubes divide

3! \cdot 5! \cdot 7!?

2

3

4

5

6

Respuesta: E

Conceptos:factorización en primos conteo de factores factorial

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Escribe

3! \cdot 5! \cdot 7!

como un producto de potencias de primos.

Write

3! \cdot 5! \cdot 7!

as a product of prime powers

Pista grande:

Un divisor cúbico usa cada primo con un exponente que es múltiplo de

3;

cuenta los exponentes permitidos para cada primo.

A cube divisor uses each prime to an exponent that is a multiple of

3;

count the allowed exponents for each prime

Solución:

Como producto de primos,

3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.

Un divisor cúbico usa exponentes que son múltiplos de

3:

el exponente de

2

puede ser

0,

3,

o

6

(

3

opciones), el exponente de

3

puede ser

0

o

3

(

2

opciones), y los exponentes de

5

y

7

deben ser

0.

Eso da

3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6

cubos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As a product of primes,

3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.

A cube divisor uses exponents that are multiples of

3:

the exponent of

2

can be

0,

3,

or

6

(

3

choices), the exponent of

3

can be

0

or

3

(

2

choices), and the exponents of

5

and

7

must be

0.

That gives

3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6

cubes.

Thus, the correct answer is E.