1995 AMC 12 第 26 题

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26.

如图，

\overline{AB}

和

\overline{CD}

是圆心为

O

的圆的直径，

\overline{AB}\perp\overline{CD}

，弦

\overline{DF}

与

\overline{AB}

相交于

E

。若

DE=6

，且

EF=2

，则圆的面积是

In the figure,

\overline{AB}

and

\overline{CD}

are diameters of the circle with center

O,

\overline{AB}\perp\overline{CD},

and chord

\overline{DF}

intersects

\overline{AB}

at

E.

If

DE=6

and

EF=2,

then the area of the circle is

23\pi

\frac{47}2\pi

24\pi

\frac{49}2\pi

25\pi

答案：C

知识点：intersecting chords coordinates circles

难度评级：2170

小提示：

由相交弦定理可得

AE\cdot EB=DE\cdot EF

Intersecting chords gives

AE\cdot EB=DE\cdot EF

大提示：

将

O

置于原点并表示

F

；利用

E

将

\overline{DF}

按

3:1

分割这一事实

Place

O

at the origin and express

F

using the fact that

E

divides

\overline{DF}

in a

3:1

ratio

解答：

设半径为

r

，且

OE=x

。由相交弦定理得

(r+x)(r-x)=6\cdot2\text{，}

所以

r^2-x^2=12

。取

O=(0,0)

、

D=(0,-r)

、

E=(x,0)

。由于

DE:EF=3:1

，有

\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right) \end{aligned}\text{。}

因为

F

在圆上，

\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2

，所以

r^2=2x^2

。因此

x^2=12

，且

r^2=24

。圆的面积为

24\pi

，所以正确答案是 C。

Let the radius be

r

and

OE=x.

Intersecting chords gives

(r+x)(r-x)=6\cdot2,

so

r^2-x^2=12.

Put

O=(0,0),

D=(0,-r),

and

E=(x,0).

Since

DE:EF=3:1,

\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}

Because

F

lies on the circle,

\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,

so

r^2=2x^2.

Therefore

x^2=12

and

r^2=24.

The area is

24\pi,

so the correct answer is C.