1988 AMC 12 第 26 题

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26.

设

p

和

q

是满足下式的正数：

\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q) \end{aligned}

求

\frac{q}{p}

的值。

Suppose that

p

and

q

are positive numbers for which

\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q). \end{aligned}

What is the value of

\frac{q}{p}?

\frac43

\frac12(1+\sqrt3)

\frac85

\frac12(1+\sqrt5)

\frac{16}{9}

答案：D

知识点：logarithms exponential equations quadratic equations

难度评级：2360

小提示：

将这些对数的公共值记为

t

Call the common logarithm value

t

大提示：

若

r=\frac{q}{p}

，比较

(\frac{16}{9})^t

与

(\frac{12}{9})^t

If

r=\frac{q}{p},

compare

(\frac{16}{9})^t

with

(\frac{12}{9})^t

解答：

设公共值为

t

。则

p=9^t,\ q=12^t

，且

p+q=16^t

。令

r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t

。将最后一个等式两边除以

p

，得

\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2 \end{aligned}\text{。}

因为

r>0

，所以

r=\frac{1+\sqrt5}{2}

。

因此，正确答案是 D。

Let the common value be

t.

Then

p=9^t,\ q=12^t,

and

p+q=16^t.

Put

r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t.

Dividing the last equation by

p

gives

\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2. \end{aligned}

Since

r>0,

r=\frac{1+\sqrt5}{2}.

Thus the correct answer is D.