1955 AMC 12 第 27 题

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27.

若 rr 和 ss 是方程 x2−px+q=0x^2-px+q=0 的根,则 r2+s2r^2+s^2 等于:
If rr and ss are the roots of x2−px+q=0,x^2-px+q=0, then r2+s2r^2+s^2 equals:
p2+2qp^2+2q
p2−2qp^2-2q
p2+q2p^2+q^2
p2−q2p^2-q^2
p2p^2
答案:B
知识点:Vieta formulassymmetric expressionsquadratic roots
小提示:
使用 r+s=pr+s=p 和 rs=qrs=q
Use r+s=pr+s=p and rs=qrs=q
大提示:
展开 (r+s)2(r+s)^2,再解出 r2+s2r^2+s^2
Expand (r+s)2(r+s)^2 and isolate r2+s2r^2+s^2
解答:
由韦达定理,r+s=pr+s=p,且 rs=qrs=q。因此 r2+s2=(r+s)2−2rs=p2−2q。 \begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=p^2-2q \end{aligned}\text{。}
因此,正确答案是 B。
By Vieta’s formulas, r+s=pr+s=p and rs=q.rs=q. Therefore r2+s2=(r+s)2−2rs=p2−2q. \begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=p^2-2q. \end{aligned}
Thus, the correct answer is B.
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