Question

求所有三位回文数的算术平均数。（回文数指正着读和倒着读相同的数，例如 $777$ 或 $383$ 。）

Find the arithmetic mean of all the three-digit palindromes. (Recall that a palindrome is a number that reads the same forward and backward, such as $777$ or $383.$ )

答案

答案：550

知识点：回文数位值平均数

难度评级：1750

解答：

一个三位回文数形如 $\overline{aba} = 101a + 10b$ ，其中 $a \in \{1, \ldots, 9\}$ ， $b \in \{0, \ldots, 9\}$ ，每一对这样的数字恰好出现一次，所以在这 $90$ 个回文数中，这两个数字在各自范围内独立变化。

由线性性，平均数等于 $101$ 乘以 $a$ 的平均值，再加上 $10$ 乘以 $b$ 的平均值，即 $\begin{aligned} &101 \cdot 5 \\ &\quad {}+ 10 \cdot \frac{9}{2} = 505 + 45 = 550. \end{aligned}$

A three-digit palindrome has the form $\overline{aba} = 101a + 10b$ with $a \in \{1, \ldots, 9\}$ and $b \in \{0, \ldots, 9\},$ and every such pair of digits occurs exactly once, so the two digits vary independently over the $90$ palindromes.

By linearity, the mean is $101$ times the average of $a$ plus $10$ times the average of $b,$ namely $\begin{aligned} &101 \cdot 5 \\ &\quad {}+ 10 \cdot \frac{9}{2} = 505 + 45 = 550. \end{aligned}$

2021 AIME II 第 1 题

答案：550

难度评级：1750

解答：

其他年份的第 1 题