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2020 AIME I 第 1 题

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1.

在满足 AB=ACAB = AC 的 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 严格位于边 AC‾\overline{AC} 上 AA 与 CC 之间，点 EE 严格位于边 AB‾\overline{AB} 上 AA 与 BB 之间，并且 AE=ED=DB=BCAE = ED = DB = BC。角 ∠ABC\angle ABC 的度数为 mn\frac{m}{n}，其中 mm 与 nn 是互质正整数。求 m+nm + n。

In △ABC\triangle ABC with AB=AC,AB = AC, point DD lies strictly between AA and CC on side AC‾,\overline{AC}, and point EE lies strictly between AA and BB on side AB‾\overline{AB} such that AE=ED=DB=BC.AE = ED = DB = BC. The degree measure of ∠ABC\angle ABC is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

答案：547
知识点：等腰三角形导角角度和
难度评级：2150
解答：

设 ∠BAC=α\angle BAC = \alpha。因为 AE=EDAE = ED，三角形 AEDAED 是等腰三角形，且 ∠ADE=∠DAE=α\angle ADE = \angle DAE = \alpha，所以 EE 点处的外角给出 ∠DEB=2α\angle DEB = 2\alpha。又因为 ED=DBED = DB，三角形 EDBEDB 满足 ∠DBE=∠DEB=2α\angle DBE = \angle DEB = 2\alpha，从而 ∠EDB=180∘−4α\angle EDB = 180^\circ - 4\alpha。

在 DD 点处，位于线段 AC‾\overline{AC} 上的三个角之和为平角： α+(180∘−4α)\alpha + (180^\circ - 4\alpha) +∠BDC=180∘+ \angle BDC = 180^\circ，所以 ∠BDC=3α\angle BDC = 3\alpha。因为 DB=BCDB = BC，也有 ∠BCD=∠BDC=3α\angle BCD = \angle BDC = 3\alpha。 又 AB=ACAB = AC，所以 ∠ABC=∠ACB=3α\angle ABC = \angle ACB = 3\alpha，对 △ABC\triangle ABC 求角和， 得 α+3α+3α=180∘\alpha + 3\alpha + 3\alpha = 180^\circ，因此 α=1807\alpha = \frac{180}{7} 度。

因此 ∠ABC=3α=5407\angle ABC = 3\alpha = \frac{540}{7} 度，且 m+n=540+7=547m + n = 540 + 7 = 547。

Let ∠BAC=α.\angle BAC = \alpha. Since AE=ED,AE = ED, triangle AEDAED is isosceles with ∠ADE=∠DAE=α,\angle ADE = \angle DAE = \alpha, so the exterior angle at EE gives ∠DEB=2α.\angle DEB = 2\alpha. Since ED=DB,ED = DB, triangle EDBEDB has ∠DBE=∠DEB=2α,\angle DBE = \angle DEB = 2\alpha, hence ∠EDB=180∘−4α.\angle EDB = 180^\circ - 4\alpha.

The three angles at DD on segment AC‾\overline{AC} sum to a straight angle: α+(180∘−4α)\alpha + (180^\circ - 4\alpha) +∠BDC=180∘,+ \angle BDC = 180^\circ, so ∠BDC=3α.\angle BDC = 3\alpha. Since DB=BC,DB = BC, also ∠BCD=∠BDC=3α.\angle BCD = \angle BDC = 3\alpha. But AB=ACAB = AC makes ∠ABC=∠ACB=3α,\angle ABC = \angle ACB = 3\alpha, so the angle sum of △ABC\triangle ABC gives α+3α+3α=180∘,\alpha + 3\alpha + 3\alpha = 180^\circ, hence α=1807\alpha = \frac{180}{7} degrees.

Then ∠ABC=3α=5407\angle ABC = 3\alpha = \frac{540}{7} degrees, and m+n=540+7=547.m + n = 540 + 7 = 547.

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