Question

求有多少个三位正整数 $abc$ ，数字不一定互不相同，满足 $a \ne 0$ 且 $c \ne 0$ ，并且 $abc$ 和 $cba$ 都是 $4$ 的倍数。

Find the number of positive integers with three not necessarily distinct digits, $abc,$ with $a \ne 0$ and $c \ne 0$ such that both $abc$ and $cba$ are multiples of $4.$

答案

答案：40

知识点：整除性数字分类讨论

难度评级：1950

解答：

一个整数是 $4$ 的倍数，当且仅当它的末两位组成的数是 $4$ 的倍数。因此需要 $4 \mid 10b + c$ 且 $4 \mid 10b + a$ 。特别地， $a$ 和 $c$ 都是偶数；把两个条件相减，得到 $4 \mid a - c$ 。非零偶数字按模 $4$ 的余数分成 $\{2, 6\}$ 和 $\{4, 8\}$ ，所以 $a$ 和 $c$ 必须来自同一组：每组给出 $4$ 个有序对 $(a, c)$ 。

若 $c \equiv 2 \pmod 4$ ，则 $10b + c \equiv 2b + 2 \pmod 4$ ，要求 $b$ 为奇数，有 $5$ 种选择；由于 $a \equiv c \pmod 4$ ，关于 $10b + a$ 的另一个条件自动成立。若 $c \equiv 0 \pmod 4$ ，则 $b$ 必须为偶数，也有 $5$ 种选择。

总数为 $4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 40$ 。

An integer is a multiple of $4$ exactly when its last two digits form a multiple of $4,$ so we need $4 \mid 10b + c$ and $4 \mid 10b + a.$ In particular $a$ and $c$ are even, and subtracting the two conditions shows $4 \mid a - c.$ The even nonzero digits split by remainder mod $4$ into $\{2, 6\}$ and $\{4, 8\},$ so $a$ and $c$ must both come from the same one of these sets: $4$ ordered pairs $(a, c)$ from each.

If $c \equiv 2 \pmod 4,$ then $10b + c \equiv 2b + 2 \pmod 4$ requires $b$ odd ( $5$ choices), and the condition on $10b + a$ holds automatically since $a \equiv c \pmod 4.$ If $c \equiv 0 \pmod 4,$ then $b$ must be even ( $5$ choices).

The count is $4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 40.$

2012 AIME I 第 1 题

答案：40

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 1 题