2010 AIME I 第 1 题

Question

Maya 列出

2010^2

的所有正因数。然后她从这个列表中随机选出两个不同的因数。设

p

为所选两个因数中恰有一个是完全平方数的概率。概率

p

可表示为

\frac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质的正整数。求

m + n

。

Maya lists all the positive divisors of

2010^2.

She then randomly selects two distinct divisors from this list. Let

p

be the probability that exactly one of the selected divisors is a perfect square. The probability

p

can be expressed in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

答案

答案：107

知识点：因数个数完全平方数基本概率

难度评级：2110

小提示：

分解

2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2

：它有

3^4 = 81

个因数

Factor

2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2:

it has

3^4 = 81

divisors

大提示：

一个因数是完全平方数当且仅当四个指数全为偶数，所以有

2^4 = 16

个因数是平方数。再数一平方一非平方的配对数。

A divisor is a perfect square exactly when all four exponents are even, so

2^4 = 16

of the divisors are squares. Count pairs using one square and one non-square.

解答：

因为

2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2

，所以它有

(2 + 1)^4 = 81

个正因数。一个因数是完全平方数当且仅当它的四个指数都为

0

或

2

，因此有

2^4 = 16

个完全平方数，另有

81 - 16 = 65

个非平方数。

选到两类各一个的概率为

p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81}\text{，}

所以

m + n = 26 + 81 = 107

。

Since

2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2,

it has

(2 + 1)^4 = 81

positive divisors. A divisor is a perfect square exactly when each of its four exponents is

0

or

2,

giving

2^4 = 16

perfect squares and

81 - 16 = 65

non-squares.

The probability of picking one of each is

p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},

so

m + n = 26 + 81 = 107.

2010 AIME I 第 1 题

答案：107

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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