Question

Maya 列出 $2010^2$ 的所有正因数。然后她从这个列表中随机选出两个不同的因数。设 $p$ 为所选两个因数中恰有一个是完全平方数的概率。概率 $p$ 可表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Maya lists all the positive divisors of $2010^2.$ She then randomly selects two distinct divisors from this list. Let $p$ be the probability that exactly one of the selected divisors is a perfect square. The probability $p$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：107

知识点：因数个数完全平方数基本概率

难度评级：2110

解答：

因为 $2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2$ ，所以它有 $(2+1)^4 = 81$ 个正因数。一个因数是完全平方数当且仅当它的四个指数都为 $0$ 或 $2$ ，因此有 $2^4 = 16$ 个完全平方数，另有 $81 - 16 = 65$ 个非平方数。

选到两类各一个的概率为所以 $m + n = 26 + 81 = 107$ 。 $p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},$

Since $2010^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2,$ it has $(2+1)^4 = 81$ positive divisors. A divisor is a perfect square exactly when each of its four exponents is $0$ or $2,$ giving $2^4 = 16$ perfect squares and $81 - 16 = 65$ non-squares.

The probability of picking one of each is $p = \frac{16 \cdot 65}{\binom{81}{2}} = \frac{1040}{3240} = \frac{26}{81},$ so $m + n = 26 + 81 = 107.$

2010 AIME I 第 1 题

答案：107

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 1 题