Question

一个游戏使用一副含有 $n$ 张不同卡牌的牌，其中 $n$ 是整数且 $n \ge 6$ 。从这副牌中抽出 $6$ 张牌的可能集合数，是 $6$ 倍于抽出 $3$ 张牌的可能集合数。求 $n$ 。

A game uses a deck of $n$ different cards, where $n$ is an integer and $n \ge 6.$ The number of possible sets of $6$ cards that can be drawn from the deck is $6$ times the number of possible sets of $3$ cards that can be drawn. Find $n.$

答案

答案：13

知识点：组合阶乘

难度评级：1890

解答：

题目条件为 $\binom{n}{6} = 6\binom{n}{3}$ 。将二项式系数相除， $\begin{aligned} \frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}} &= \frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= 6, \end{aligned}$ 所以 $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ $= 10 \cdot 9 \cdot 8$ 。

由于乘积 $(n-3)(n-4)(n-5)$ 随 $n$ 增大而增大，唯一解是 $n - 3 = 10$ ，即 $n = 13$ 。

The condition says $\binom{n}{6} = 6\binom{n}{3}.$ Dividing the binomial coefficients, $\begin{aligned} \frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}} &= \frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= 6, \end{aligned}$ so $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ $= 10 \cdot 9 \cdot 8.$

Since the product $(n-3)(n-4)(n-5)$ is increasing in $n,$ the only solution is $n - 3 = 10,$ that is, $n = 13.$

2005 AIME II 第 1 题

答案：13

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 1 题