Question

正整数 $n$ 的各位数字从左到右读时，是四个连续整数按递减顺序排列。 $n$ 除以 $37$ 时，所有可能余数的和是多少？

The digits of a positive integer $n$ are four consecutive integers in decreasing order when read from left to right. What is the sum of the possible remainders when $n$ is divided by $37?$

答案

答案：217

知识点：位值模运算

难度评级：1890

解答：

若首位数字是 $a$ ，则四个数字为 $a$ ， $a - 1$ ， $a - 2$ ， $a - 3$ 其中 $a = 3, 4, \ldots, 9$ ，所以 $\begin{aligned} n &= 1000a + 100(a-1) \\ &\quad {}+ 10(a-2) + (a-3) \\ &= 1111a - 123. \end{aligned}$

因为 $1111 = 30 \cdot 37 + 1$ 且 $123 = 3 \cdot 37 + 12$ 可得 $n \equiv a - 12 \equiv a + 25 \pmod{37}$ 。当 $a = 3, \ldots, 9$ 时，数值 $a + 25$ 依次为 $28, 29, \ldots, 34$ 都已经小于 $37$ ，因此它们正是七个可能余数。

它们的和是 $28 + 29 + \cdots + 34$ $= 7 \cdot 31 = 217$ 。

If the leading digit is $a,$ the digits are $a,$ $a - 1,$ $a - 2,$ $a - 3$ with $a = 3, 4, \ldots, 9,$ so $\begin{aligned} n &= 1000a + 100(a-1) \\ &\quad {}+ 10(a-2) + (a-3) \\ &= 1111a - 123. \end{aligned}$

Since $1111 = 30 \cdot 37 + 1$ and $123 = 3 \cdot 37 + 12,$ we get $n \equiv a - 12 \equiv a + 25 \pmod{37}.$ For $a = 3, \ldots, 9$ the values $a + 25$ run through $28, 29, \ldots, 34,$ each already less than $37,$ so these are exactly the seven possible remainders.

Their sum is $28 + 29 + \cdots + 34$ $= 7 \cdot 31 = 217.$

2004 AIME I 第 1 题

答案：217

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 1 题