2004 AIME I 第 1 题

Question

正整数

n

的各位数字从左到右读时，是四个连续整数按递减顺序排列。

n

除以

37

时，所有可能余数的和是多少？

The digits of a positive integer

n

are four consecutive integers in decreasing order when read from left to right. What is the sum of the possible remainders when

n

is divided by

37?

答案

答案：217

知识点：位值模运算

难度评级：1890

小提示：

把这个数写成

1111a - 123

，其中

a

是首位数字，且

a = 3, 4, \ldots, 9

Write the number as

1111a - 123,

where

a

is its leading digit and

a = 3, 4, \ldots, 9

大提示：

因为

1111 = 30 \cdot 37 + 1

，所以

n

的余数是

a + 25

，这个数已经小于

37

Since

1111 = 30 \cdot 37 + 1,

the remainder of

n

is

a + 25,

which is already less than

37

解答：

若首位数字是

a

，则四个数字为

a

、

a - 1

、

a - 2

、

a - 3

，其中

a = 3, 4, \ldots, 9

，所以

\begin{aligned} n &= 1000a + 100(a-1) \\ &\quad {}+ 10(a-2) + (a-3) \\ &= 1111a - 123 \end{aligned}\text{。}

因为

1111 = 30 \cdot 37 + 1

且

123 = 3 \cdot 37 + 12

可得

n \equiv a - 12 \equiv a + 25 \pmod{37}

。当

a = 3, \ldots, 9

时，数值

a + 25

依次为

28, 29, \ldots, 34

都已经小于

37

，因此它们正是七个可能余数。

它们的和是

28 + 29 + \cdots + 34

= 7 \cdot 31 = 217

。

If the leading digit is

a,

the digits are

a,

a - 1,

a - 2,

a - 3

with

a = 3, 4, \ldots, 9,

so

\begin{aligned} n &= 1000a + 100(a-1) \\ &\quad {}+ 10(a-2) + (a-3) \\ &= 1111a - 123. \end{aligned}

Since

1111 = 30 \cdot 37 + 1

and

123 = 3 \cdot 37 + 12,

we get

n \equiv a - 12 \equiv a + 25 \pmod{37}.

For

a = 3, \ldots, 9

the values

a + 25

run through

28, 29, \ldots, 34,

each already less than

37,

so these are exactly the seven possible remainders.

Their sum is

28 + 29 + \cdots + 34

= 7 \cdot 31 = 217.

2004 AIME I 第 1 题

答案：217

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

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