2002 AIME II 第 1 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

1.

已知：

(1)

x

和

y

都是从

100

到

999

（含端点）的整数；

(2)

y

是把

x

的数字顺序反转后所形成的数；

(3)

z = |x - y|

。

z

可能有多少个不同的值？

Given that

(1)

x

and

y

are both integers between

100

and

999,

inclusive;

(2)

y

is the number formed by reversing the digits of

x;

and

(3)

z = |x - y|.

How many distinct values of

z

are possible?

答案

答案：9

知识点：位值数字

难度评级：1850

小提示：

写成

x = 100h + 10t + u

；那么

y = 100u + 10t + h

，再计算

x - y

。

Write

x = 100h + 10t + u;

then

y = 100u + 10t + h,

and compute

x - y

大提示：

z = 99\,|h - u|

，而且

h

和

u

都至少为

1

，因为

x

和

y

都是三位数。

z = 99\,|h - u|,

and both

h

and

u

are at least

1

because

x

and

y

are both three-digit numbers

解答：

设

x = 100h + 10t + u

，其中

h

、

t

、

u

是数字。则

y = 100u + 10t + h

，所以

z = |x - y| = 99\,|h - u|\text{。}

因为

x

和

y

都是三位数，

h

和

u

都可以从

1

取到

9

，所以

|h - u|

可以是

0

、

1

、

\ldots

、

8

中的任意一个。每个值给出一个不同的

99

的倍数，因此共有

9

个不同的

z

值。

Write

x = 100h + 10t + u

with digits

h,

t,

u.

Then

y = 100u + 10t + h,

so

z = |x - y| = 99\,|h - u|.

Since both

x

and

y

are three-digit numbers, both

h

and

u

run from

1

to

9,

so

|h - u|

can be any of

0,

1,

\ldots,

8.

Each choice gives a different multiple of

99,

so there are

9

distinct values of

z.