2025 AMC 8 Problema 12

Question

La región que se muestra abajo consta de

24

cuadrados, cada uno con longitud de lado

1

centímetro. ¿Cuál es el área, en centímetros cuadrados, del círculo más grande que cabe dentro de la región, tocando posiblemente los bordes?

The region shown below consists of

24

squares, each with side length

1

centimeter. What is the area, in square centimeters, of the largest circle that can fit inside the region, possibly touching the boundaries?

3\pi

4\pi

5\pi

6\pi

8\pi

El círculo más grande está centrado en el centro de la región

The largest circle is centered at the center of the region

Halla la distancia del centro a las esquinas cóncavas más cercanas

Find the distance from the center to the nearest concave corners

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Las esquinas de la región que están más cerca del centro son los

8

puntos que se encuentran sobre este círculo:

Por el teorema de Pitágoras, cada uno de estos puntos está a esta distancia del centro:

\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.

Entonces el área del círculo es

\pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi,

que es la opción C.

The corners of the region which are closest to the center are the

8

points which lie on this circle:

By the Pythagorean Theorem, each of these points has this distance from the center:

\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.

The area of the circle is then

\pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi,

which is choice C.

El Problema 12 en otros años