2009 AMC 8 Problema 17

Question

Los enteros positivos

x

y

y

son los dos enteros positivos más pequeños para los que el producto de

360

y

x

es un cuadrado y el producto de

360

y

y

es un cubo. ¿Cuál es la suma de

x

y

y

?

The positive integers

x

and

y

are the two smallest positive integers for which the product of

360

and

x

is a square and the product of

360

and

y

is a cube. What is the sum of

x

and

y?

80

85

115

165

610

Respuesta: B

Conceptos:factorización en primos cuadrado perfecto potencia perfecta

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Factoriza

360

en primos

Factor

360

into primes.

Pista grande:

Haz los exponentes pares para un cuadrado y múltiplos de

3

para un cubo

Make exponents even for a square and multiples of

3

for a cube.

Solución:

Para que un número sea un cuadrado perfecto, cada exponente de la factorización en primos debe ser par. Para que sea un cubo, los exponentes deben ser divisibles entre

3.

Podemos factorizar

360

como

360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.

Para que

360x

sea un cuadrado perfecto y

x

sea mínimo,

x

debe aportar un factor de

2

y un factor de

5.

Por lo tanto, podemos tomar

x = 10.

Para que

360y

sea un cubo,

y

debe tener un factor de

3

y dos factores de

5.

Por lo tanto, podemos tomar

y = 75,

de modo que

x + y = 85.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

For a number to be a perfect square, every exponent in the prime factorization must be even. For it to be a cube, the exponents must be divisible by

3.

We can factor

360

to get

360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.

For

360x

to be a perfect square and

x

to be minimized,

x

must have one factor of

2

and one factor of

5.

Therefore, we can let

x = 10.

For

360y

to be a cube,

y

must have one factor of

3

and two factors of

5.