2007 AMC 8 Problema 12

Question

Un hexagrama unitario está compuesto por un hexágono regular de lado

1

y sus

6

extensiones triangulares equiláteras, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la razón entre el área de las extensiones y el área del hexágono original?

A unit hexagram is composed of a regular hexagon of side length

1

and its

6

equilateral triangular extensions, as shown in the diagram. What is the ratio of the area of the extensions to the area of the original hexagon?

1:1

6:5

3:2

2:1

3:1

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Divide el hexágono regular en seis triángulos equiláteros congruentes

Divide the regular hexagon into six congruent equilateral triangles.

Pista grande:

Cada triángulo exterior comparte un lado con uno de los seis triángulos interiores

Each exterior triangle shares a side with one of the six interior triangles.

Solución:

Observa que podemos dividir el hexágono en

6

triángulos equiláteros congruentes de la siguiente manera.

Como cada uno de ellos comparte un lado con un triángulo exterior, todos los triángulos son congruentes. Por lo tanto, la razón de áreas es

1:1.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that we can split the hexagon into

6

congruent equilateral triangles as follows.

Since each of them share an edge with an exterior triangle, all the triangles are congruent. Therefore, the ratio of areas is

1:1.

Thus, A is the correct answer.