1998 AMC 12 Problema 29

Question

Un punto

(x,y)

del plano se llama punto reticular si tanto

x

como

y

son enteros. El área del mayor cuadrado que contiene exactamente tres puntos reticulares en su interior es la más cercana a

A point

(x,y)

in the plane is called a lattice point if both

x

and

y

are integers. The area of the largest square that contains exactly three lattice points in its interior is closest to

4.0

4.2

4.5

5.0

5.6

Tres puntos reticulares interiores colineales obligan a que haya un cuarto; usa un triángulo reticular no colineal mínimo

Three collinear interior lattice points force a fourth, so use a smallest noncollinear lattice triangle

En un cuadrado máximo, los lados opuestos quedan fijados por puntos reticulares cercanos; compara su separación

At a maximal square, opposite sides are pinned by nearby lattice points; compare their separation

Basta encerrar los tres puntos reticulares no colineales

(0,0),(0,1),(1,0).

En una colocación máxima, dos lados opuestos quedan fijados por puntos reticulares vecinos; la mayor separación posible es la distancia

\sqrt5

entre las rectas paralelas que pasan por

(1,1)

y

(0,-1).

Por tanto, el área es a lo sumo

5.

Este valor se alcanza con el cuadrado limitado por

\begin{aligned} y&=2x+2,\\ y&=2x-3,\\ 2y+x&=3,\\ 2y+x&=-2. \end{aligned}

Su área es

5

y contiene exactamente los tres puntos indicados en su interior. Así, la respuesta correcta es D.

It suffices to enclose the three noncollinear lattice points

(0,0),(0,1),(1,0).

In a maximal placement, two opposite sides are pinned by neighboring lattice points; the greatest possible separation is the distance

\sqrt5

between parallel lines through

(1,1)

and

(0,-1).

Hence the area is at most

5.

This is attained by the square bounded by

\begin{aligned} y&=2x+2,\\ y&=2x-3,\\ 2y+x&=3,\\ 2y+x&=-2. \end{aligned}

Its area is

5

and exactly the three stated lattice points lie inside. Thus D is correct.

El Problema 29 en otros años