1996 AMC 12 Problema 27
Intenta el Problema 27 del 1996 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1996 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
27.
Considera dos bolas esféricas macizas: una con centro en y radio y la otra con centro en y radio ¿Cuántos puntos de coordenadas enteras (puntos de la retícula) hay en la intersección de las bolas?
Consider two solid spherical balls, one centered at with radius and the other centered at with radius How many points with only integer coordinates (lattice points) are there in the intersection of the balls?
Respuesta: D
Pista pequeña:
Primero interseca los intervalos enteros posibles para la coordenada en las dos bolas
First intersect the possible integer ranges for the -coordinate in the two balls
Pista grande:
En la única altura posible, reduce ambas desigualdades esféricas a una cota para
At the only possible height, reduce both sphere inequalities to a bound on
Solución:
La primera bola permite alturas enteras de a mientras que la segunda permite de a así que un punto de la retícula en la intersección debe tener A esa altura, las dos cotas son Por tanto, puede ser o Estos valores dan y pares enteros ordenados, respectivamente, para un total de puntos. La respuesta correcta es D.
The first ball permits integer heights through while the second permits through so an intersection lattice point must have At that height the two bounds are Thus can be or These give and ordered integer pairs, respectively, for points. The correct answer is D.
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