1991 AMC 12 Problema 27

Question

Si

\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20, \end{aligned}

entonces

\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}

If

\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20, \end{aligned}

then

\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}

5.05

20

51.005

61.25

400

Racionaliza

\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}

Rationalize

\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}

Los últimos dos términos de la expresión solicitada son conjugados

The last two terms of the requested expression are conjugates

Como

\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1},

la ecuación dada implica

x+\sqrt{x^2-1}=10.

Su recíproco es

x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10},

por lo que al sumar obtenemos

2x=10.1

y

x=5.05.

Además,

\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}.

Por lo tanto, la expresión solicitada es

2x^2=2(5.05)^2=51.005.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because

\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1},

the given equation implies

x+\sqrt{x^2-1}=10.

Its reciprocal is

x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10},

so adding yields

2x=10.1

and

x=5.05.

Also

\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}.

Therefore the requested expression is

2x^2=2(5.05)^2=51.005.

Thus the correct answer is C.

El Problema 27 en otros años