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1989 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1989 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1989 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

Sea nn un entero positivo. Si la ecuación 2x+2y+z=n2x+2y+z=n tiene 2828 soluciones en enteros positivos x,x, yy y z,z, entonces nn debe ser
Let nn be a positive integer. If the equation 2x+2y+z=n2x+2y+z=n has 2828 solutions in positive integers x,x, yy and z,z, then nn must be either
1414 o 1515
1414 or 1515
1515 o 1616
1515 or 1616
1616 o 1717
1616 or 1717
1717 o 1818
1717 or 1818
1818 o 1919
1818 or 1919
Respuesta: D
Conceptos:Ecuación diofánticasumatoriaconteo de pares
Nivel de dificultad: 2340
Pista pequeña:
Agrupa las soluciones según s=x+ys=x+y
Group solutions according to s=x+ys=x+y
Pista grande:
Para un ss fijo, cuenta los pares ordenados positivos (x,y)(x,y) y exige que n−2s≥1n-2s\ge1
For fixed s,s, count the positive ordered pairs (x,y)(x,y) and require n−2s≥1n-2s\ge1
Solución:
Para s=x+y≥2,s=x+y\ge2, hay s−1s-1 pares ordenados positivos (x,y),(x,y), y z=n−2sz=n-2s es positivo cuando s≤⌊n−12⌋.s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor. Si escribimos m=⌊n−12⌋,m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor, el número de soluciones es ∑s=2m(s−1)=m(m−1)2. \sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2. Al igualarlo a 2828 se obtiene m=8.m=8. Por tanto, ⌊n−12⌋=8,\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8, así que n=17n=17 o 18.18.
Por tanto, la respuesta correcta es D.
For s=x+y≥2,s=x+y\ge2, there are s−1s-1 positive ordered pairs (x,y),(x,y), and z=n−2sz=n-2s is positive when s≤⌊n−12⌋.s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor. Writing m=⌊n−12⌋,m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor, the number of solutions is ∑s=2m(s−1)=m(m−1)2. \sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2. Setting this equal to 2828 gives m=8.m=8. Hence ⌊n−12⌋=8,\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8, so n=17n=17 or 18.18.
Thus the correct answer is D.
Problema 26#26
Examen completo
Problema 28#28

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