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1976 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1976 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1976 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

Si N=5+2+5−25+1−3−22, \begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned} entonces NN es igual a
If N=5+2+5−25+1−3−22, \begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned} then NN equals
11
22−12\sqrt2-1
52\frac{\sqrt5}{2}
52\sqrt{\frac52}
ninguna de estas
none of these
Respuesta: A
Conceptos:radicalracionalización del denominadormanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2080
Pista pequeña:
Eleva al cuadrado el numerador de la fracción grande antes de simplificarla
Square the numerator of the large fraction before simplifying it
Pista grande:
Reconoce 3−223-2\sqrt2 como (2−1)2(\sqrt2-1)^2
Recognize 3−223-2\sqrt2 as (2−1)2(\sqrt2-1)^2
Solución:
Sea TT la primera fracción. El cuadrado de su numerador es (5+2)+(5−2)+2(5+2)(5−2)=25+2. \begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned} Por tanto, T2=25+25+1=2,T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2, y T=2.T=\sqrt2. Además, 3−22=2−1.\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1. Así, N=2−(2−1)=1.N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let TT be the first fraction. Its numerator squared is (5+2)+(5−2)+2(5+2)(5−2)=25+2. \begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned} Thus T2=25+25+1=2,T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2, and T=2.T=\sqrt2. Also 3−22=2−1.\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1. Hence N=2−(2−1)=1.N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.
Therefore, the correct answer is A.
Problema 26#26
Examen completo
Problema 28#28

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