Question

Cada casilla de una cuadrícula de $5 \times 5$ está llena o vacía, y tiene hasta ocho casillas vecinas adyacentes, donde las casillas vecinas comparten un lado o una esquina. La cuadrícula se transforma según las siguientes reglas:

• Cualquier casilla llena con dos o tres vecinas llenas permanece llena.

• Cualquier casilla vacía con exactamente tres vecinas llenas se convierte en una casilla llena.

• Todas las demás casillas permanecen vacías o se vuelven vacías.

En la figura de abajo se muestra un ejemplo de transformación.

Supón que la cuadrícula de $5 \times 5$ tiene un borde de casillas vacías que rodea una subcuadrícula de $3 \times 3$ . ¿Cuántas configuraciones iniciales llevarán a una cuadrícula transformada que consiste en una sola casilla llena en el centro después de una única transformación? (Las rotaciones y reflexiones de la misma configuración se consideran diferentes. )

Each square in a $5 \times 5$ grid is either filled or empty, and has up to eight adjacent neighboring squares, where neighboring squares share either a side or a corner. The grid is transformed by the following rules:

• Any filled square with two or three filled neighbors remains filled.

• Any empty square with exactly three filled neighbors becomes a filled square.

• All other squares remain empty or become empty.

A sample transformation is shown in the figure below.

Suppose the $5 \times 5$ grid has a border of empty squares surrounding a $3 \times 3$ subgrid. How many initial configurations will lead to a transformed grid consisting of a single filled square in the center after a single transformation? (Rotations and reflections of the same configuration are considered different.)

$\ 14$

$\ 18$

$\ 22$

$\ 26$

$\ 30$

Respuesta: C

Conceptos:simulación de procesos análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Primero supongamos que el centro está inicialmente lleno. Debe tener exactamente $2$ o $3$ vecinos llenos para sobrevivir. Cada uno de esos vecinos ya toca el centro, así que, para desaparecer, no puede tocar a ningún otro vecino lleno. Al comprobar estas posiciones no adyacentes por pares, las únicas opciones que no dan además a alguna casilla vacía exactamente $3$ vecinos llenos son dos esquinas opuestas. Hay $2$ configuraciones de este tipo.

Ahora supongamos que el centro está inicialmente vacío. Exactamente $3$ de sus ocho vecinos deben estar llenos. Cada uno de esos tres debe desaparecer, así que ninguno puede ser adyacente a los otros dos. Además, ninguna casilla vacía distinta del centro puede ser adyacente a los tres. Al aplicar estas dos pruebas se obtienen los siguientes cuatro patrones representativos:

Cada uno de los primeros tres patrones tiene $4$ rotaciones distintas. El último tiene $4$ rotaciones y sus $4$ imágenes reflejadas, para un total de $8$ configuraciones. Así, el caso con centro vacío aporta $4+4+4+8=20,$ y el total es $20+2=22.$

Así, la respuesta es C.

First suppose the center is initially filled. It must have exactly $2$ or $3$ filled neighbors to survive. Every such neighbor already touches the center, so to disappear it cannot touch any other filled neighbor. Checking these pairwise nonadjacent positions, the only choices that do not also give some empty square exactly $3$ filled neighbors are two opposite corners. There are $2$ such configurations.

Now suppose the center is initially empty. Exactly $3$ of its eight neighbors must be filled. Each of those three must disappear, so none may be adjacent to both of the others. Also, no empty square besides the center may be adjacent to all three. Applying these two tests gives the following four representative patterns:

Each of the first three patterns has $4$ distinct rotations. The last has $4$ rotations and their $4$ reflected images, for $8$ configurations. Thus the center-empty case contributes $4+4+4+8=20,$ and the total is $20+2=22.$

Thus, the answer is C .

2022 AMC 10B Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

El Problema 19 en otros años