Question

Sea $N$ el entero positivo $7777\ldots777,$ un número de $313$ dígitos donde cada dígito es un $7.$ Sea $f(r)$ el dígito inicial de la raíz de $N.$ de índice $r$ ¿Cuánto vale ? $\begin{aligned} &f(2)+f(3)+f(4)\\ &\quad{}+f(5)+f(6)? \end{aligned}$

Let $N$ be the positive integer $7777\ldots777,$ a $313$ -digit number where each digit is a $7.$ Let $f(r)$ be the leading digit of the $r$ th root of $N.$ What is $\begin{aligned} &f(2)+f(3)+f(4)\\ &\quad{}+f(5)+f(6)? \end{aligned}$

$8$

$9$

$11$

$22$

$29$

Respuesta: A

Conceptos:dígitos exponente acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

El número $N$ satisface Multiplicar o dividir por una potencia de $10$ solo desplaza el punto decimal, así que solo necesitamos el factor inicial que queda después de extraer la mayor potencia conveniente de $10.$ $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}.$

Para $r=2,$ $\sqrt N$ tiene factor inicial entre $\sqrt7$ y $\sqrt8,$ así que $f(2)=2.$

Para $r=3,$ el factor inicial está entre $\sqrt[3]{7}$ y $\sqrt[3]{8},$ así que $f(3)=1.$ Para $r=4,$ el factor inicial está entre $\sqrt[4]{7}$ y $\sqrt[4]{8},$ así que $f(4)=1.$

Para $r=5,$ como $312=5\cdot62+2,$ el factor inicial está entre $\sqrt[5]{700}$ y $\sqrt[5]{800}.$ Como $3^5\lt700\lt800\lt4^5,$ $f(5)=3.$

Para $r=6,$ el factor inicial está entre $\sqrt[6]{7}$ y $\sqrt[6]{8},$ así que $f(6)=1.$ La suma es $2+1+1+3+1=8.$

Por lo tanto, la respuesta es A.

The number $N$ satisfies $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}.$ Multiplying or dividing by a power of $10$ only shifts the decimal point, so we only need the leading factor left after taking out the largest convenient power of $10.$

For $r=2,$ $\sqrt N$ has leading factor between $\sqrt7$ and $\sqrt8,$ so $f(2)=2.$

For $r=3,$ the leading factor is between $\sqrt[3]{7}$ and $\sqrt[3]{8},$ so $f(3)=1.$ For $r=4,$ the leading factor is between $\sqrt[4]{7}$ and $\sqrt[4]{8},$ so $f(4)=1.$

For $r=5,$ since $312=5\cdot62+2,$ the leading factor is between $\sqrt[5]{700}$ and $\sqrt[5]{800}.$ Since $3^5\lt700\lt800\lt4^5,$ $f(5)=3.$

For $r=6,$ the leading factor is between $\sqrt[6]{7}$ and $\sqrt[6]{8},$ so $f(6)=1.$ The sum is $2+1+1+3+1=8.$

Thus, the answer is A .

2021 AMC 10B Fall Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

El Problema 19 en otros años