Question

El punto $P(a,b)$ en el plano $xy$ primero se rota $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del punto $(1,5)$ y luego se refleja respecto a la recta $y = -x.$ La imagen de $P$ después de estas dos transformaciones está en $(-6,3).$ ¿Cuánto vale $b - a$ ?

The point $P(a,b)$ in the $xy$ -plane is first rotated counterclockwise by $90^\circ$ around the point $(1,5)$ and then reflected about the line $y = -x.$ The image of $P$ after these two transformations is at $(-6,3).$ What is $b - a ?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:transformación geometría analítica trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1220

Solución en video:

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Solución escrita:

Trabaja hacia atrás. Reflejar $(-6,3)$ respecto a $y=-x$ da $(-3,6).$

Ahora deshaz la rotación de $90^\circ$ antihoraria rotando $(-3,6)$ en sentido horario alrededor de $(1,5).$ Respecto a $(1,5),$ el punto es $(-4,1).$ Un cuarto de vuelta en sentido horario lo lleva a $(1,4),$ y al trasladar de vuelta se obtiene $(2,9).$

Por lo tanto $a=2,$ $b=9,$ y $b-a=7.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Work backward. Reflecting $(-6,3)$ across $y=-x$ gives $(-3,6).$

Now undo the $90^\circ$ counterclockwise rotation by rotating $(-3,6)$ clockwise about $(1,5).$ Relative to $(1,5),$ the point is $(-4,1).$ A clockwise quarter-turn sends this to $(1,4),$ and translating back gives $(2,9).$

Thus $a=2,$ $b=9,$ and $b-a=7.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring Problema 9

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1220

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Solución escrita:

El Problema 9 en otros años