2010 AMC 10B Problema 19

Question

Una circunferencia con centro

O

tiene área

156\pi.

El triángulo

ABC

es equilátero,

\overline{BC}

es una cuerda de la circunferencia,

OA = 4\sqrt{3},

y el punto

O

está fuera del

\triangle ABC.

¿Cuál es la longitud del lado del

\triangle ABC

?

A circle with center

O

has area

156\pi.

Triangle

ABC

is equilateral,

\overline{BC}

is a chord on the circle,

OA = 4\sqrt{3},

and point

O

is outside

\triangle ABC.

What is the side length of

\triangle ABC?

2\sqrt{3}

6

4\sqrt{3}

12

18

Respuesta: B

Conceptos:cuerda triángulo equilátero Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea

s

la longitud del lado y traza la altura desde

A

.

Let

s

be the side length and drop the altitude from

A

Pista grande:

Usa el radio de la circunferencia

\sqrt{156}

y la altura del triángulo equilátero.

Use the circle radius

\sqrt{156}

and the equilateral triangle altitude

Solución:

Considera el siguiente diagrama:

Usando la fórmula del área de una circunferencia, tenemos que

BO = \sqrt{156}

por ser un radio.

Extiende

\overline{AO}

hasta cortar

\overline{BC}

en

X.

Sea

s

la longitud del lado del

\triangle ABC.

Entonces tenemos

BX = \dfrac{s}{2}

y

AX = \dfrac{s\sqrt3}{2}.

Tenemos que

\triangle OXB

es rectángulo, lo que significa que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. Esto nos da

(\sqrt{156})^2 = \left(\dfrac{s}{2}\right)^2

+ \left(\dfrac{s\sqrt3}{2} + 4\sqrt3\right)^2.

Simplificando, obtenemos

156 = s^2 + 12s + 48

s^2 + 12s - 108 = 0

(s - 6)(s + 18) = 0.

Como

s

es positivo, debemos tener que

s = 6.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

Using the formula for the area of a circle, we have that

BO = \sqrt{156}

since it is a radius.

Extend

\overline{AO}

to intersect

\overline{BC}

at

X.

Let

s

be the side length of

\triangle ABC.

Then we have that

BX = \dfrac{s}{2}

and

AX = \dfrac{s\sqrt3}{2}.

We have that

\triangle OXB

is right, which means that we can apply the Pythagorean Theorem. This gives us

(\sqrt{156})^2 = \left(\dfrac{s}{2}\right)^2

+ \left(\dfrac{s\sqrt3}{2} + 4\sqrt3\right)^2.

Simplifying, we get

156 = s^2 + 12s + 48

s^2 + 12s - 108 = 0

(s - 6)(s + 18) = 0.

Since

s

is positive, we must have that

s = 6.

Thus, B is the correct answer.