1991 AMC 12 第 27 题

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27.

若

\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20 \end{aligned}\text{，}

则

\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}

If

\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20, \end{aligned}

then

\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}

5.05

20

51.005

61.25

400

答案：C

知识点：conjugate radicals reciprocal algebraic identity

难度评级：2110

小提示：

有理化

\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}

Rationalize

\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}

大提示：

所求式的后两项互为共轭式

The last two terms of the requested expression are conjugates

解答：

因为

\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1}\text{，}

已知方程给出

x+\sqrt{x^2-1}=10

。其倒数为

x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10}

，相加得到

2x=10.1

，所以

x=5.05

。另外，

\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}\text{。}

因此所求式为

2x^2=2(5.05)^2=51.005

。

因此正确答案为 C。

Because

\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1},

the given equation implies

x+\sqrt{x^2-1}=10.

Its reciprocal is

x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10},

so adding yields

2x=10.1

and

x=5.05.

Also

\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}.

Therefore the requested expression is

2x^2=2(5.05)^2=51.005.

Thus the correct answer is C.