Question

求所有整数进制 $b \gt 9$ 的和，使得 $17_b$ 是 $97_b$ 的因数。

Find the sum of all integer bases $b \gt 9$ for which $17_b$ is a divisor of $97_b.$

答案

答案：70

难度评级：1890

解答：

在 $b$ 进制中，这两个数是 $17_b = b + 7$ 和 $97_b = 9b + 7$ 。我们需要 $b + 7 \mid 9b + 7$ ，又因为 $b + 7$ 一定整除 $9(b + 7) = 9b + 63$ ，所以这等价于 $\begin{gathered} b + 7 \mid (9b + 63) - (9b + 7) \\ = 56. \end{gathered}$

由于 $b \gt 9$ 有 $b + 7 \gt 16$ ，所以 $b + 7$ 只能是 $28$ 或 $56$ ，从而 $b = 21$ 或 $b = 49$ 。所求和为 $21 + 49 = 70$ 。

In base $b$ the two numbers are $17_b = b + 7$ and $97_b = 9b + 7.$ We need $b + 7 \mid 9b + 7,$ and since $b + 7$ certainly divides $9(b + 7) = 9b + 63,$ this is equivalent to $\begin{gathered} b + 7 \mid (9b + 63) - (9b + 7) \\ = 56. \end{gathered}$

For $b \gt 9$ we have $b + 7 \gt 16,$ so $b + 7$ must be $28$ or $56,$ giving $b = 21$ or $b = 49.$ The sum is $21 + 49 = 70.$

2025 AIME I 第 1 题

答案：70

难度评级：1890

解答：

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