2022 AIME I 第 1 题

Question

二次多项式

P(x)

和

Q(x)

的首项系数分别为

2

和

-2

，这两个多项式的图像都经过

(16, 54)

和

(20, 53)

两点。求

P(0) + Q(0)

。

Quadratic polynomials

P(x)

and

Q(x)

have leading coefficients of

2

and

-2,

respectively. The graphs of both polynomials pass through the two points

(16, 54)

and

(20, 53).

Find

P(0) + Q(0).

答案

答案：116

知识点：多项式一次方程

难度评级：1890

小提示：

考虑

R(x) = P(x) + Q(x)

：二次项会抵消，所以

R

是一次函数

Consider

R(x) = P(x) + Q(x):

the quadratic terms cancel, so

R

is linear

大提示：

R

经过

(16, 108)

和

(20, 106)

；把这条直线延伸回

x = 0

R

passes through

(16, 108)

and

(20, 106);

extend that line back to

x = 0

解答：

令

R(x) = P(x) + Q(x)

。首项系数

2

和

-2

抵消，所以

R

是一次函数。因为两个图像都经过

(16, 54)

和

(20, 53)

，所以

R(16) = 108

且

R(20) = 106

。

R

的斜率为

\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2}

，所以

\begin{aligned} P(0) + Q(0) &= R(0) \\ &= R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 108 + 8 = 116 \end{aligned}\text{。}

Let

R(x) = P(x) + Q(x).

The leading coefficients

2

and

-2

cancel, so

R

is a linear function. Since both graphs pass through

(16, 54)

and

(20, 53),

we get

R(16) = 108

and

R(20) = 106.

The slope of

R

is

\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2},

so

\begin{aligned} P(0) + Q(0) &= R(0) \\ &= R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 108 + 8 = 116. \end{aligned}

2022 AIME I 第 1 题

答案：116

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

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