2016 AIME I 第 1 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

1.

对于

-1 \lt r \lt 1

，令

S(r)

表示等比级数

12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots

的和。设

-1

与

1

之间的

a

满足

S(a)S(-a) = 2016

。求

S(a) + S(-a)

。

For

-1 \lt r \lt 1,

let

S(r)

denote the sum of the geometric series

12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.

Let

a

between

-1

and

1

satisfy

S(a)S(-a) = 2016.

Find

S(a) + S(-a).

答案

答案：336

知识点：等比数列代数变形

难度评级：1840

小提示：

每个级数都是等比级数：

S(r) = \frac{12}{1 - r}

Each series is geometric:

S(r) = \frac{12}{1 - r}

大提示：

S(a)S(-a)

和

S(a) + S(-a)

都只依赖于

1 - a^2

，所以不需要求出

a

Both

S(a)S(-a)

and

S(a) + S(-a)

depend only on

1 - a^2,

so you never need to find

a

解答：

这个等比级数的和为

S(r) = \frac{12}{1 - r}

。因此

\begin{aligned} S(a)S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{144}{1 - a^2} = 2016 \end{aligned}\text{，}

所以

\frac{1}{1 - a^2} = 14

。

将两个和通分相加，

\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \\ &\quad {}+ \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{24}{1 - a^2} \\ &= 24 \cdot 14 = 336 \end{aligned}\text{。}

The geometric series sums to

S(r) = \frac{12}{1 - r}.

Therefore

\begin{aligned} S(a)S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{144}{1 - a^2} = 2016, \end{aligned}

so

\frac{1}{1 - a^2} = 14.

Adding the two sums over a common denominator,

\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \\ &\quad {}+ \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{24}{1 - a^2} \\ &= 24 \cdot 14 = 336. \end{aligned}