Question

对于 $-1 \lt r \lt 1$ ，令 $S(r)$ 表示等比级数 $12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.$ 的和。设 $-1$ 与 $1$ 之间的 $a$ 满足 $S(a)S(-a) = 2016$ 。求 $S(a) + S(-a)$ 。

For $-1 \lt r \lt 1,$ let $S(r)$ denote the sum of the geometric series $12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.$ Let $a$ between $-1$ and $1$ satisfy $S(a)S(-a) = 2016.$ Find $S(a) + S(-a).$

答案

答案：336

知识点：等比数列代数变形

难度评级：1840

解答：

这个等比级数的和为 $S(r) = \frac{12}{1 - r}$ 。因此 $\begin{aligned} S(a)S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{144}{1 - a^2} = 2016, \end{aligned}$ 所以 $\frac{1}{1 - a^2} = 14$ 。

将两个和通分相加， $\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \\ &\quad {}+ \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{24}{1 - a^2} \\ &= 24 \cdot 14 = 336. \end{aligned}$

The geometric series sums to $S(r) = \frac{12}{1 - r}.$ Therefore $\begin{aligned} S(a)S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{144}{1 - a^2} = 2016, \end{aligned}$ so $\frac{1}{1 - a^2} = 14.$

Adding the two sums over a common denominator, $\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \\ &\quad {}+ \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{24}{1 - a^2} \\ &= 24 \cdot 14 = 336. \end{aligned}$

2016 AIME I 第 1 题

答案：336

难度评级：1840

解答：

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