Question

三个正整数的乘积 $N$ 是它们和的 $6$ 倍。已知其中一个整数等于另外两个整数的和。求 $N$ 的所有可能值之和。

The product $N$ of three positive integers is $6$ times their sum, and one of the integers is the sum of the other two. Find the sum of all possible values of $N.$

答案

答案：336

知识点：丢番图方程因式分解

难度评级：1840

解答：

设这三个整数为 $a$ ， $b$ ，和 $c = a + b$ 。则 $\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c, \end{aligned}$ 并且从 $abc = 12c$ 中约去 $c$ 得到 $ab = 12$ 。

因数分解 $(a, b) = (1, 12)$ ， $(2, 6)$ ， $(3, 4)$ 分别给出 $c = 13$ ， $8$ ， $7$ 因而 $N = 12c = 156$ ， $96$ ， $84$ 。所有可能值之和为 $156 + 96 + 84 = 336$ 。

Let the integers be $a,$ $b,$ and $c = a + b.$ Then $\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c, \end{aligned}$ and cancelling $c$ from $abc = 12c$ leaves $ab = 12.$

The factorizations $(a, b) = (1, 12),$ $(2, 6),$ $(3, 4)$ give $c = 13,$ $8,$ $7$ and $N = 12c = 156,$ $96,$ $84.$ The sum of all possible values is $156 + 96 + 84 = 336.$

2003 AIME II 第 1 题

答案：336

难度评级：1840

解答：

其他年份的第 1 题