2003 AIME II 第 1 题

Question

三个正整数的乘积

N

是它们和的

6

倍。已知其中一个整数等于另外两个整数的和。求

N

的所有可能值之和。

The product

N

of three positive integers is

6

times their sum, and one of the integers is the sum of the other two. Find the sum of all possible values of

N.

答案

答案：336

知识点：丢番图方程因式分解

难度评级：1840

小提示：

设这三个整数为

a

、

b

和

c = a + b

，然后代入

abc = 6(a + b + c)

Let the integers be

a,

b,

and

c = a + b,

and substitute into

abc = 6(a + b + c)

大提示：

方程化简为

ab = 12

；

12

的每一种因数分解都会给出一个

N = 12c

的值

The equation reduces to

ab = 12;

each way of factoring

12

gives one value of

N = 12c

解答：

设这三个整数为

a

、

b

和

c = a + b

。则

\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c \end{aligned}\text{，}

并且从

abc = 12c

中约去

c

得到

ab = 12

。

因数分解

(a, b) = (1, 12)

、

(2, 6)

、

(3, 4)

分别给出

c = 13

、

8

、

7

，因而

N = 12c = 156

、

96

、

84

。所有可能值之和为

156 + 96 + 84 = 336

。

Let the integers be

a,

b,

and

c = a + b.

Then

\begin{aligned} N &= abc = 6(a + b + c) \\ &= 6 \cdot 2c = 12c, \end{aligned}

and cancelling

c

from

abc = 12c

leaves

ab = 12.

The factorizations

(a, b) = (1, 12),

(2, 6),

(3, 4)

give

c = 13,

8,

7

and

N = 12c = 156,

96,

84.

The sum of all possible values is

156 + 96 + 84 = 336.

2003 AIME II 第 1 题

答案：336

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

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