Question

设 $N$ 是满足以下性质的最大正整数：从左到右看， $N$ 的每一对相邻数字都组成一个完全平方数。求 $N$ 最左边的三位数字。

Let $N$ be the largest positive integer with the following property: reading from left to right, each pair of consecutive digits of $N$ forms a perfect square. What are the leftmost three digits of $N?$

答案

答案：816

知识点：数字完全平方数系统列举

难度评级：1890

解答：

每一对相邻数字必须是两位平方数 $16$ ， $25$ ， $36$ ， $49$ ， $64$ ， $81$ 。之一。因此若后继存在，每个数字都唯一确定它的后继： $1 \to 6$ ， $2 \to 5$ ， $3 \to 6$ ， $4 \to 9$ ， $6 \to 4$ ， $8 \to 1$ ，而 $5$ 和 $9$ 会结束这个数。

从每个可能的起始数字追踪，最长的数字串为 $25$ ， $3649$ ，和 $81649$ 。五位链 $8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9$ 长于其他所有链，所以 $N = 81649$ ，其最左边三位数字为 $816$ 。

Each pair of consecutive digits must be one of the two-digit squares $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ $64,$ $81.$ So each digit determines its successor uniquely if one exists: $1 \to 6,$ $2 \to 5,$ $3 \to 6,$ $4 \to 9,$ $6 \to 4,$ $8 \to 1,$ while $5$ and $9$ end the number.

Following these chains from each possible starting digit, the longest strings are $25,$ $3649,$ and $81649.$ The five-digit chain $8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9$ beats everything else, so $N = 81649,$ whose leftmost three digits are $816.$

2001 AIME II 第 1 题

答案：816

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 1 题