2001 AIME II 第 1 题

Question

设

N

是满足以下性质的最大正整数：从左到右看，

N

的每一对相邻数字都组成一个完全平方数。求

N

最左边的三位数字。

Let

N

be the largest positive integer with the following property: reading from left to right, each pair of consecutive digits of

N

forms a perfect square. What are the leftmost three digits of

N?

答案

答案：816

知识点：数字完全平方数系统列举

难度评级：1890

小提示：

每一对相邻数字必须是两位完全平方数

16

、

25

、

36

、

49

、

64

、

81

之一。

Each adjacent digit pair must be one of the two-digit perfect squares

16,

25,

36,

49,

64,

81

大提示：

每个数字至多只有一个可能的下一个数字，所以追踪各条链并取最长的一条。

Every digit has at most one possible next digit, so trace the chains and take the longest one

解答：

每一对相邻数字必须是两位完全平方数

16

、

25

、

36

、

49

、

64

、

81

之一。因此，若某个数字有后继，它就唯一确定这个后继：

1 \to 6

、

2 \to 5

、

3 \to 6

、

4 \to 9

、

6 \to 4

、

8 \to 1

，而

5

和

9

会结束这个数。

从每个可能的起始数字追踪，最长的数字串为

25

、

3649

和

81649

。五位链

8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9

长于其他所有链，所以

N = 81649

，其最左边三位数字为

816

。

Each pair of consecutive digits must be one of the two-digit squares

16,

25,

36,

49,

64,

81.

So each digit determines its successor uniquely if one exists:

1 \to 6,

2 \to 5,

3 \to 6,

4 \to 9,

6 \to 4,

8 \to 1,

while

5

and

9

end the number.

Following these chains from each possible starting digit, the longest strings are

25,

3649,

and

81649.

The five-digit chain

8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9

beats everything else, so

N = 81649,

whose leftmost three digits are

816.

2001 AIME II 第 1 题

答案：816

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

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