Question

从 $1$ 到 $1000$ （含端点）的整数中，有多少个可以表示为两个非负整数平方的差？

How many of the integers between $1$ and $1000,$ inclusive, can be expressed as the difference of the squares of two nonnegative integers?

答案

答案：750

知识点：平方差奇偶性

难度评级：1890

解答：

设 $n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ 。两个因子 $a - b$ 和 $a + b$ 相差偶数 $2b$ ，所以它们奇偶性相同。如果二者都是奇数，则 $n$ 是奇数；如果二者都是偶数，则 $4 \mid n$ 。因此，没有整数 $n \equiv 2 \pmod 4$ 能表示为两个平方的差。

反过来，每个奇数 $2k + 1$ 都等于 $(k+1)^2 - k^2$ ；每个 $4$ 的倍数（设为 $4k$ ）都等于 $(k+1)^2 - (k-1)^2$ （因为 $k \ge 1$ ，所以 $k - 1 \ge 0$ ）。

在 $1$ 到 $1000$ 之间有 $500$ 个奇数和 $250$ 个 $4$ 的倍数，总数为 $500 + 250 = 750$ 。

Write $n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$ The factors $a - b$ and $a + b$ differ by the even number $2b,$ so they have the same parity. If both are odd, $n$ is odd; if both are even, $4 \mid n.$ Hence no integer $n \equiv 2 \pmod 4$ is a difference of two squares.

Conversely, every odd number $2k + 1$ equals $(k+1)^2 - k^2,$ and every multiple of $4,$ say $4k,$ equals $(k+1)^2 - (k-1)^2$ (with $k - 1 \ge 0$ since $k \ge 1$ ).

Between $1$ and $1000$ there are $500$ odd numbers and $250$ multiples of $4,$ for a total of $500 + 250 = 750.$

1997 AIME 第 1 题

答案：750

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 1 题