2022 AMC 8 Problema 17

Question

Si

n

es un entero positivo par, la notación de doble factorial

n!!

representa el producto de todos los enteros pares de

2

a

n.

Por ejemplo:

8!! = 2 \times 4 \times 6 \times 8

¿Cuál es la cifra de las unidades de la siguiente suma?

\begin{aligned} &2!! + 4!! + 6!! + \cdots \\ &\quad {}+ 2018!! + 2020!! + 2022!! \end{aligned}

If

n

is an even positive integer, the double factorial notation

n!!

represents the product of all the even integers from

2

to

n.

For example:

8!! = 2 \times 4 \times 6 \times 8

What is the units digit of the following sum?

\begin{aligned} &2!! + 4!! + 6!! + \cdots \\ &\quad {}+ 2018!! + 2020!! + 2022!! \end{aligned}

0

2

4

6

8

Respuesta: B

Conceptos:factorial dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Cualquier doble factorial par de al menos

10!!

tiene un factor de

10

Any even double factorial at least

10!!

has a factor of

10

Pista grande:

Solo

2!!,4!!,6!!,

y

8!!

pueden afectar la cifra de las unidades

Only

2!!,4!!,6!!,

and

8!!

can affect the units digit

Solución:

Para todo entero par

n\ge10,

el producto

n!!

contiene un factor de

10,

así que ese término tiene cifra de las unidades

0.

Solo los primeros cuatro términos pueden afectar la cifra de las unidades.

Su suma es

\begin{gathered} 2!!+4!!+6!!+8!!\\ =2+8+48+384\\ =442. \end{gathered}

Por lo tanto, la suma completa tiene cifra de las unidades

2.

Así, la respuesta correcta es B.

For every even

n\ge10,

the product

n!!

contains a factor of

10,

so that term has units digit

0.

Only the first four terms can affect the units digit.

They sum to

\begin{gathered} 2!!+4!!+6!!+8!!\\ =2+8+48+384\\ =442. \end{gathered}

Therefore the full sum has units digit

2.

Thus, the correct answer is B.