Question

Un cuadrado con longitud de lado entera se corta en 10 cuadrados, todos con longitud de lado entera y de los cuales al menos 8 tienen área 1. ¿Cuál es el menor valor posible de la longitud del lado del cuadrado original?

A square with an integer side length is cut into 10 squares, all of which have integer side length and at least 8 of which have area 1. What is the smallest possible value of the length of the side of the original square?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: B

Conceptos:teselado argumento extremal

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

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Solución escrita:

Como los $10$ cuadrados tienen lados enteros positivos, cada uno tiene área por lo menos $1$ . Por tanto, el área total es al menos $10$ . Un cuadrado de lado entero no mayor que $3$ tiene área como máximo $3^2=9$ , así que el lado del cuadrado grande no puede ser menor que $4$ .

La siguiente configuración divide un cuadrado de $4\times4$ en diez cuadrados de lados enteros, ocho de ellos unitarios. Por tanto, el lado $4$ se puede alcanzar y es el mínimo.

Así, la respuesta es B.

Since all $10$ squares have positive integer side lengths, each has area at least $1$ . Their total area is therefore at least $10$ . A square with integer side length at most $3$ has area at most $3^2=9$ , so its side length cannot be less than $4$ .

The following configuration cuts a $4\times4$ square into ten integer-sided squares, eight of which are unit squares. Therefore side length $4$ is attainable and is the minimum.

Thus, the answer is B .

2012 AMC 8 Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 17 en otros años