2012 AMC 8 Problema 12

Question

¿Cuál es la cifra de las unidades de

13^{2012}

?

What is the units digit of

13^{2012}?

1

3

5

7

9

Solo importa la cifra de las unidades de la base.

Only the units digit of the base matters.

Las potencias de

3

tienen un ciclo de cifra de unidades de longitud

4

.

Powers of

3

have a units-digit cycle of length

4

.

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Tenemos que hallar

13^{2012} \mod 10.

Lo siguiente es cierto:

\begin{align*}13^{2012} &\equiv 3^{2012} \mod 10\\&\equiv 81^{503} \mod 10\\&\equiv 1^{503} \mod 10\\&\equiv 1 \mod 10\end{align*}

Esto significa que

13^{2012}

tiene la misma cifra de las unidades que

1,

así que la cifra de las unidades de

13^{2012}

es

1.

Así, la respuesta es A.

We have to find

13^{2012} \mod 10.

The following is true:

\begin{align*}13^{2012} &\equiv 3^{2012} \mod 10\\&\equiv 81^{503} \mod 10\\&\equiv 1^{503} \mod 10\\&\equiv 1 \mod 10\end{align*}

This means

13^{2012}

has the same units digit as

1,

so the units digit of

13^{2012}

is

1.

Thus, the answer is A .

El Problema 12 en otros años