2008 AMC 8 Problema 12

Question

Se deja caer una pelota desde una altura de

3

metros. En su primer rebote sube a una altura de

2

metros. Sigue cayendo y rebotando hasta

\frac{2}{3}

de la altura que alcanzó en el rebote anterior. ¿En qué rebote no subirá a una altura de

0.5

metros?

A ball is dropped from a height of

3

meters. On its first bounce it rises to a height of

2

meters. It keeps falling and bouncing to

\frac{2}{3}

of the height it reached in the previous bounce. On which bounce will it not rise to a height of

0.5

meters?

\ 3

\ 4

\ 5

\ 6

\ 7

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Enumera las alturas de rebote multiplicando por

\frac{2}{3}

cada vez.

List the bounce heights by multiplying by

\frac{2}{3}

each time.

Pista grande:

Compara la cuarta y la quinta altura de rebote con

\frac{1}{2}

.

Compare the fourth and fifth bounce heights with

\frac{1}{2}

.

Solución:

El primer rebote sube a

2

metros. Cada rebote posterior es

\dfrac{2}{3}

del rebote anterior.

El cuarto rebote sube a

2\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{16}{27}

, que es mayor que

\dfrac{1}{2}

.

El quinto rebote sube a

2\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{32}{81}

, que es menor que

\dfrac{1}{2}

.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The first bounce rises to

2

meters. Each later bounce is

\dfrac{2}{3}

of the previous bounce.

The fourth bounce rises to

2\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{16}{27}

, which is greater than

\dfrac{1}{2}

.

The fifth bounce rises to

2\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{32}{81}

, which is less than

\dfrac{1}{2}

.

Thus, C is the correct answer.