Soluciones del 2008 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Susan tenía $\$50$ para gastar en la feria. Gastó $\$12$ en comida y el doble en juegos. ¿Cuántos dólares le quedaron para gastar?

Susan had $\$50$ to spend at the carnival. She spent $\$12$ on food and twice as much on rides. How many dollars did she have left to spend?

$12$

$14$

$26$

$38$

$50$

Conceptos:dinero

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Encuentra cuánto gastó Susan en los juegos antes de restarlo de $50.$

Find how much Susan spent on rides before subtracting from $50.$

Pista grande:

El doble de $\$12$ es $\$24$ .

Twice as much as $\$12$ is $\$24$ .

Solución:

Susan gastó $2\cdot 12=24$ dólares en los juegos, así que gastó $12+24=36$ dólares en total.

Le quedaron $50-36=14$ dólares.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Susan spent $2\cdot 12=24$ dollars on rides, so she spent $12+24=36$ dollars total.

She had $50-36=14$ dollars left.

Thus, B is the correct answer.

2.

El código de diez letras $\text{BEST OF LUCK}$ representa los diez dígitos $0-9,$ en orden. ¿Qué número de $4$ dígitos representa la palabra clave $\text{CLUE}$ ?

The ten-letter code $\text{BEST OF LUCK}$ represents the ten digits $0-9,$ in order. What $4$ -digit number is represented by the code word $\text{CLUE}?$

$\ 8671$

$\ 8672$

$\ 9781$

$\ 9782$

$\ 9872$

Conceptos:valor posicional

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Escribe el dígito debajo de cada letra en BEST OF LUCK.

Write the digit under each letter in BEST OF LUCK.

Pista grande:

Como la primera letra representa $0,$ cada letra representa uno menos que su posición en el código.

Because the first letter represents $0,$ each letter represents one less than its position in the code.

Solución:

El código BEST OF LUCK representa los dígitos $0$ a $9$ en orden, así que $C=8$ , $L=6$ , $U=7$ y $E=1$ .

Por lo tanto, $\text{CLUE}=8671$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The code BEST OF LUCK represents the digits $0$ through $9$ in order, so $C=8$ , $L=6$ , $U=7$ , and $E=1$ .

Therefore, $\text{CLUE}=8671$ .

Thus, A is the correct answer.

3.

Si el $13$ de febrero es viernes, ¿qué día de la semana es el $1$ de febrero?

If February is a month that contains Friday the $13$ th, what day of the week is February $1?$

domingo

Sunday

lunes

Monday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

sábado

Saturday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Las fechas separadas por una semana caen en el mismo día de la semana.

Dates one week apart fall on the same weekday.

Pista grande:

Compara el $13$ de febrero con el $6$ de febrero, luego cuenta hacia atrás hasta el $1$ de febrero.

Compare February $13$ to February $6,$ then count back to February $1.$

Solución:

Como el $13$ es viernes, sabemos que el $6$ también es viernes. El $1$ está $5$ días antes de ese viernes, lo que lo hace domingo.

Por lo tanto, la respuesta es A.

Since the $13$ th is a Friday, we know that the $6$ th is also a Friday. The $1$ st is $5$ days before the Friday, making it a Sunday.

Thus, the answer is A .

4.

En la figura, el triángulo equilátero exterior tiene área $16,$ el triángulo equilátero interior tiene área $1,$ y los tres trapecios son congruentes. ¿Cuál es el área de uno de los trapecios?

In the figure, the outer equilateral triangle has area $16,$ the inner equilateral triangle has area $1,$ and the three trapezoids are congruent. What is the area of one of the trapezoids?

$\ 3$

$\ 4$

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

Conceptos:área trapecio triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Resta el área del triángulo interior del área del triángulo exterior.

Subtract the inner triangle area from the outer triangle area.

Pista grande:

El área restante se reparte por igual entre los tres trapecios congruentes.

The remaining area is split equally among the three congruent trapezoids.

Solución:

El triángulo exterior tiene área $16$ , y el triángulo interior tiene área $1$ .

Así, los tres trapecios congruentes tienen área total $16-1=15$ , y cada trapecio tiene área $15\div3=5$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The outer triangle has area $16$ , and the inner triangle has area $1$ .

So the three congruent trapezoids have total area $16-1=15$ , and each trapezoid has area $15\div3=5$ .

Thus, C is the correct answer.

5.

Barney Schwinn nota que el odómetro de su bicicleta marca $1441,$ un palíndromo, porque se lee igual de adelante hacia atrás y de atrás hacia adelante. Después de andar $4$ horas más ese día y $6$ al día siguiente, nota que el odómetro muestra otro palíndromo, $1661.$ ¿Cuál fue su velocidad promedio en millas por hora?

Barney Schwinn notices that the odometer on his bicycle reads $1441,$ a palindrome, because it reads the same forward and backward. After riding $4$ more hours that day and $6$ the next, he notices that the odometer shows another palindrome, $1661.$ What was his average speed in miles per hour?

$\ 15$

$\ 16$

$\ 18$

$\ 20$

$\ 22$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Encuentra las millas recorridas restando las lecturas del odómetro.

Find the miles ridden by subtracting the odometer readings.

Pista grande:

El tiempo total de recorrido es las $4$ horas más las $6$ horas.

The total riding time is the $4$ hours plus the $6$ hours.

Solución:

El odómetro aumentó $1661-1441=220$ millas.

Barney anduvo $4+6=10$ horas, así que su velocidad promedio fue $220\div10=22$ millas por hora.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The odometer increased by $1661-1441=220$ miles.

Barney rode for $4+6=10$ hours, so his average speed was $220\div10=22$ miles per hour.

Thus, E is the correct answer.

6.

En la figura, ¿cuál es la razón entre el área de los cuadrados sombreados y el área de los cuadrados sin sombrear?

In the figure, what is the ratio of the area of the shaded squares to the area of the unshaded squares?

$\ 3:10$

$\ 3:8$

$\ 3:7$

$\ 3:5$

$\ 1:1$

Conceptos:área razón y proporción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Subdivide el cuadrado sombreado central en piezas del tamaño de una unidad que coincidan con las demás.

Subdivide the central shaded square into unit-size pieces matching the others.

Pista grande:

Cuenta los cuadrados pequeños de igual área, sombreados y sin sombrear.

Count shaded and unshaded equal-area small squares.

Solución:

Después de subdividir el cuadrado sombreado central, la figura tiene $16$ cuadrados pequeños iguales.

De estos, $6$ están sombreados y $10$ sin sombrear, así que la razón buscada es $6:10=3:5$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

After subdividing the central shaded square, the figure has $16$ equal small squares.

Of these, $6$ are shaded and $10$ are unshaded, so the desired ratio is $6:10=3:5$ .

Thus, D is the correct answer.

7.

Si $\dfrac{3}{5}=\dfrac{M}{45}=\dfrac{60}{N},$ ¿cuánto vale $M+N$ ?

If $\dfrac{3}{5}=\dfrac{M}{45}=\dfrac{60}{N},$ what is $M+N?$

$\ 27$

$\ 29$

$\ 45$

$\ 105$

$\ 127$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Despeja $M$ usando $\frac{M}{45}=\frac{3}{5}$ .

Solve for $M$ using $\frac{M}{45}=\frac{3}{5}$ .

Pista grande:

Despeja $N$ usando $\frac{60}{N}=\frac{3}{5}$ , luego suma.

Solve for $N$ using $\frac{60}{N}=\frac{3}{5}$ , then add.

Solución:

De $\dfrac{3}{5}=\dfrac{M}{45}$ , obtenemos $M=\dfrac{3\cdot45}{5}=27$ .

De $\dfrac{3}{5}=\dfrac{60}{N}$ , obtenemos $3N=300$ , así que $N=100$ .

Por lo tanto, $M+N=27+100=127$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

From $\dfrac{3}{5}=\dfrac{M}{45}$ , we get $M=\dfrac{3\cdot45}{5}=27$ .

From $\dfrac{3}{5}=\dfrac{60}{N}$ , we get $3N=300$ , so $N=100$ .

Therefore, $M+N=27+100=127$ .

Thus, E is the correct answer.

8.

Se muestran las ventas de dulces del Boosters Club de enero a abril. ¿Cuáles fueron las ventas promedio por mes en dólares?

Candy sales of the Boosters Club for January through April are shown. What were the average sales per month in dollars?

$\ 60$

$\ 70$

$\ 75$

$\ 80$

$\ 85$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas media

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Lee las alturas de las cuatro barras mensuales del gráfico.

Read the four monthly bar heights from the chart.

Pista grande:

El promedio es las ventas totales divididas entre $4$ meses.

Average means total sales divided by $4$ months.

Solución:

Las cuatro ventas mensuales son $100,$ $60,$ $40,$ y $120$ dólares.

Su promedio es $\dfrac{100+60+40+120}{4}$ $=\dfrac{320}{4}$ $=80$ dólares.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The four monthly sales are $100,$ $60,$ $40,$ and $120$ dollars.

Their average is $\dfrac{100+60+40+120}{4}$ $=\dfrac{320}{4}$ $=80$ dollars.

Thus, D is the correct answer.

9.

En $2005$ , la magnate Tammy invirtió $\$100$ durante dos años. Durante el primer año su inversión sufrió una pérdida del $15\%$ , pero durante el segundo año la inversión restante tuvo una ganancia del $20\%$ . Durante los dos años, ¿cuál fue el cambio en la inversión de Tammy?

In $2005$ Tycoon Tammy invested $\$100$ for two years. During the first year her investment suffered a $15\%$ loss, but during the second year the remaining investment showed a $20\%$ gain. Over the two-year period, what was the change in Tammy’s investment?

pérdida del $5\%$

$5\%$ loss

pérdida del $2\%$

$2\%$ loss

ganancia del $1\%$

$1\%$ gain

ganancia del $2\%$

$2\%$ gain

ganancia del $5\%$

$5\%$ gain

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Después de una pérdida del $15\%,$ queda el $85\%$ de la inversión original.

After a $15\%$ loss, $85\%$ of the original investment remains.

Pista grande:

Aplica la ganancia del $20\%$ al monto reducido, no al monto original.

Apply the $20\%$ gain to the reduced amount, not to the original amount.

Solución:

La pérdida del $15\%$ cambia la inversión de $\$100$ a $0.85\cdot\$100=\$85$ .

La ganancia del $20\%$ luego la cambia a $1.2\cdot\$85=\$102$ .

La inversión pasó de $\$100$ a $\$102$ , lo que es una ganancia del $2\%$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $15\%$ loss changes the investment from $\$100$ to $0.85\cdot\$100=\$85$ .

The $20\%$ gain then changes it to $1.2\cdot\$85=\$102$ .

The investment went from $\$100$ to $\$102$ , which is a $2\%$ gain.

Thus, D is the correct answer.

10.

La edad promedio de las $6$ personas en la Sala A es $40.$ La edad promedio de las $4$ personas en la Sala B es $25.$ Si se combinan los dos grupos, ¿cuál es la edad promedio de todas las personas?

The average age of the $6$ people in Room A is $40.$ The average age of the $4$ people in Room B is $25.$ If the two groups are combined, what is the average age of all the people?

$\ 32.5$

$\ 33$

$\ 33.5$

$\ 34$

$\ 35$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Convierte el promedio de cada sala en una edad total.

Convert each room average into a total age.

Pista grande:

El promedio combinado es la edad total combinada dividida entre las $10$ personas.

The combined average is the combined total age divided by all $10$ people.

Solución:

La suma de las edades en la Sala A es $6\cdot 40 = 240.$

La suma de las edades en la Sala B es $4\cdot 25 = 100.$

La suma total es $240+100 = 340.$

El promedio es, por lo tanto, $\dfrac{340}{10} =34.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

The sum of the ages in Room A is $6\cdot 40 = 240.$

The sum of the ages in Room B is $4\cdot 25 = 100.$

The total sum is $240+100 = 340.$

The average is therefore $\dfrac{340}{10} =34.$

Thus, the answer is D .

11.

Cada uno de los $39$ estudiantes de octavo grado de la escuela Lincoln Middle School tiene un perro, un gato, o tanto un perro como un gato. Veinte estudiantes tienen un perro y $26$ estudiantes tienen un gato. ¿Cuántos estudiantes tienen a la vez un perro y un gato?

Each of the $39$ students in the eighth grade at Lincoln Middle School has one dog or one cat or both a dog and a cat. Twenty students have a dog and $26$ students have a cat. How many students have both a dog and a cat?

$\ 7$

$\ 13$

$\ 19$

$\ 39$

$\ 46$

Conceptos:inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Al sumar los dueños de perro y los dueños de gato, los estudiantes con ambas mascotas se cuentan dos veces.

Adding dog owners and cat owners counts students with both pets twice.

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión con el número total de estudiantes como la unión.

Use inclusion-exclusion with the total number of students as the union.

Solución:

El número de personas que tienen ambos animales es igual al número de personas que tienen un gato más el número de personas que tienen un perro menos el número de personas que tienen al menos uno.

Por lo tanto, el número de personas que tienen ambos es $20+26-39 = 7.$

Por lo tanto, la respuesta es A.

The number of people that have both animals is equal to the number of people that own a cat plus the number of people that own a dog minus the number of people that own either.

Therefore, the number of people who own both is $20+26-39 = 7.$

Thus, the answer is A .

12.

Se deja caer una pelota desde una altura de $3$ metros. En su primer rebote sube a una altura de $2$ metros. Sigue cayendo y rebotando hasta $\frac{2}{3}$ de la altura que alcanzó en el rebote anterior. ¿En qué rebote no subirá a una altura de $0.5$ metros?

A ball is dropped from a height of $3$ meters. On its first bounce it rises to a height of $2$ meters. It keeps falling and bouncing to $\frac{2}{3}$ of the height it reached in the previous bounce. On which bounce will it not rise to a height of $0.5$ meters?

$\ 3$

$\ 4$

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

Conceptos:sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Enumera las alturas de rebote multiplicando por $\frac{2}{3}$ cada vez.

List the bounce heights by multiplying by $\frac{2}{3}$ each time.

Pista grande:

Compara la cuarta y la quinta altura de rebote con $\frac{1}{2}$ .

Compare the fourth and fifth bounce heights with $\frac{1}{2}$ .

Solución:

El primer rebote sube a $2$ metros. Cada rebote posterior es $\dfrac{2}{3}$ del rebote anterior.

El cuarto rebote sube a $2\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{16}{27}$ , que es mayor que $\dfrac{1}{2}$ .

El quinto rebote sube a $2\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{32}{81}$ , que es menor que $\dfrac{1}{2}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The first bounce rises to $2$ meters. Each later bounce is $\dfrac{2}{3}$ of the previous bounce.

The fourth bounce rises to $2\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{16}{27}$ , which is greater than $\dfrac{1}{2}$ .

The fifth bounce rises to $2\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{32}{81}$ , which is less than $\dfrac{1}{2}$ .

Thus, C is the correct answer.

13.

El señor Harman necesita saber el peso combinado en libras de tres cajas que quiere enviar por correo. Sin embargo, la única balanza disponible no es precisa para pesos menores de $100$ libras o mayores de $150$ libras. Así que las cajas se pesan en parejas de todas las maneras posibles. Los resultados son $122,$ $125$ y $127$ libras. ¿Cuál es el peso combinado en libras de las tres cajas?

Mr. Harman needs to know the combined weight in pounds of three boxes he wants to mail. However, the only available scale is not accurate for weights less than $100$ pounds or more than $150$ pounds. So the boxes are weighed in pairs in every possible way. The results are $122,$ $125$ and $127$ pounds. What is the combined weight in pounds of the three boxes?

$\ 160$

$\ 170$

$\ 187$

$\ 195$

$\ 354$

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Cada caja aparece en exactamente dos de los tres pesos de pareja.

Each box appears in exactly two of the three pair weights.

Pista grande:

Suma los tres pesos de pareja, luego divide entre $2.$

Add the three pair weights, then divide by $2.$

Solución:

Sean los pesos $a,$ $b,$ $c.$ Sabemos que $\begin{cases}a+b = 122\\a+c = 125\\b+c = 127.\end{cases}$ Al sumar las tres ecuaciones, obtenemos $2(a+b+c) =$ $122+125+127=374.$ Por lo tanto, $a+b+c = 187.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

Let the weights be $a,$ $b,$ $c.$ We know $\begin{cases}a+b = 122\\a+c = 125\\b+c = 127.\end{cases}$ Adding all of this yields $2(a+b+c) =$ $122+125+127=374.$ This makes $a+b+c = 187.$

Thus, the answer is C .

14.

Tres A, tres B y tres C se colocan en los nueve espacios de modo que cada fila y columna contenga una de cada letra. Si A se coloca en la esquina superior izquierda, ¿cuántos arreglos son posibles?

Three A’s, three B’s, and three C’s are placed in the nine spaces so that each row and column contain one of each letter. If A is placed in the upper left corner, how many arrangements are possible?

$\ 2$

$\ 3$

$\ 4$

$\ 5$

$\ 6$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Una vez fija la A de la esquina superior izquierda, decide dónde pueden ir las otras dos A.

After the top-left A is fixed, decide where the other two A entries can go.

Pista grande:

Para cada patrón de A, la fila superior puede colocar B y C en dos órdenes.

For each A-pattern, the top row can place B and C in two orders.

Solución:

Las otras dos A deben ocupar un cuadro en cada una de las dos filas y columnas restantes. Hay dos patrones diagonales posibles para las tres A.

Para cualquiera de los patrones de A, las dos posiciones restantes de la fila superior pueden llenarse como B,C o C,B, y entonces el resto de la cuadrícula queda determinado.

Así que hay $2\cdot2=4$ arreglos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The other two A’s must occupy one square in each of the remaining two rows and columns. There are two possible diagonal patterns for the three A’s.

For either A-pattern, the two remaining positions in the top row can be filled as B,C or C,B, and then the rest of the grid is forced.

So there are $2\cdot2=4$ arrangements.

Thus, C is the correct answer.

15.

En los primeros $8$ partidos de baloncesto de Theresa, anotó $7,$ $4,$ $3,$ $6,$ $8,$ $3,$ $1$ y $5$ puntos. En su noveno partido, anotó menos de $10$ puntos y su promedio de puntos por partido en los nueve partidos fue un entero. De manera similar, en su décimo partido anotó menos de $10$ puntos y su promedio de puntos por partido en los $10$ partidos también fue un entero. ¿Cuál es el producto del número de puntos que anotó en el noveno y el décimo partido?

In Theresa’s first $8$ basketball games, she scored $7,$ $4,$ $3,$ $6,$ $8,$ $3,$ $1$ and $5$ points. In her ninth game, she scored fewer than $10$ points and her points-per-game average for the nine games was an integer. Similarly in her tenth game, she scored fewer than $10$ points and her points-per-game average for the $10$ games was also an integer. What is the product of the number of points she scored in the ninth and tenth games?

$\ 35$

$\ 40$

$\ 48$

$\ 56$

$\ 72$

Conceptos:media divisibilidad

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Primero suma los puntajes de Theresa de los primeros $8$ partidos.

First add Theresa’s scores from the first $8$ games.

Pista grande:

El total de los $9$ partidos debe ser múltiplo de $9,$ y el total de los $10$ partidos debe ser múltiplo de $10.$

The $9$ -game total must be a multiple of $9,$ and the $10$ -game total must be a multiple of $10.$

Solución:

La suma de sus primeros $8$ puntajes es $37.$ Como el promedio de los primeros $9$ puntajes es un entero, la suma de los primeros $9$ puntajes es múltiplo de $9.$

Como el puntaje es menor que $10,$ la suma de los puntajes tras $9$ partidos está entre $37$ y $47,$ y es múltiplo de $9,$ lo que hace la suma $45.$ Así, el puntaje del $9$ .º partido es $45-37=8.$

La suma de los primeros $9$ puntajes de Theresa es $45.$ Como el promedio de los primeros $10$ puntajes es un entero, la suma de los primeros $10$ puntajes es múltiplo de $10.$

Como el puntaje es menor que $10,$ la suma de los puntajes tras $10$ partidos está entre $45$ y $55,$ y es múltiplo de $10,$ lo que hace la suma $50.$ Así, el puntaje del $10$ .º partido es $50-45=5.$

Por lo tanto, su producto es $8\cdot 5=40.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

The sum of her first $8$ scores is $37.$ Since the average of the first $9$ scores is an integer, the sum of the first $9$ scores is a multiple of $9.$

Since the score is less than $10,$ the sum of the scores after $9$ games is between $37$ and $47,$ and is a multiple of $9,$ making the sum $45.$ Thus, the score of the $9$ th game is $45-37=8.$

The sum of Theresa’s first $9$ scores is $45.$ Since the average of the first $10$ scores is an integer, the sum of the first $10$ scores is a multiple of $10.$

Since the score is less than $10,$ the sum of the scores after $10$ games is between $45$ and $55,$ and is a multiple of $10,$ making the sum $50.$ Thus, the score of the $10$ th game is $50-45=5.$

Therefore, their product is $8\cdot 5=40.$

Thus, the answer is B .

16.

Se crea una figura uniendo siete cubos unitarios, como se muestra. ¿Cuál es la razón entre el volumen en unidades cúbicas y el área superficial en unidades cuadradas?

A shape is created by joining seven unit cubes, as shown. What is the ratio of the volume in cubic units to the surface area in square units?

$\:1 : 6$

$\: 7 : 36$

$\: 1 : 5$

$\: 7 : 30$

$\: 6 : 25$

Conceptos:área de superficie volumen geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

El volumen es simplemente el número de cubos unitarios.

The volume is just the number of unit cubes.

Pista grande:

Para el área superficial, cada uno de los seis cubos exteriores tiene $5$ caras expuestas.

For surface area, each of the six outer cubes has $5$ exposed faces.

Solución:

La figura usa $7$ cubos unitarios, así que su volumen es $7$ unidades cúbicas.

El cubo central no tiene caras expuestas. Cada uno de los seis cubos exteriores tiene $5$ caras expuestas, para un área superficial total de $6\cdot5=30$ unidades cuadradas.

La razón entre el volumen y el área superficial es $7:30$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The shape uses $7$ unit cubes, so its volume is $7$ cubic units.

The center cube has no exposed faces. Each of the six outer cubes has $5$ exposed faces, for a total surface area of $6\cdot5=30$ square units.

The ratio of volume to surface area is $7:30$ .

Thus, D is the correct answer.

17.

La señora Osborne pide a cada estudiante de su clase que dibuje un rectángulo con lados de longitud entera y un perímetro de $50$ unidades. Todos sus estudiantes calculan el área del rectángulo que dibujan. ¿Cuál es la diferencia entre las áreas mayor y menor posibles de los rectángulos?

Ms. Osborne asks each student in her class to draw a rectangle with integer side lengths and a perimeter of $50$ units. All of her students calculate the area of the rectangle they draw. What is the difference between the largest and smallest possible areas of the rectangles?

$\ 76$

$\ 120$

$\ 128$

$\ 132$

$\ 136$

Conceptos:rectángulo área optimización

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Un perímetro de $50$ significa que las longitudes de los lados suman $25.$

A perimeter of $50$ means the side lengths have sum $25.$

Pista grande:

Para una suma fija de enteros positivos, el mayor producto usa números lo más cercanos posible.

For a fixed positive integer sum, the largest product uses numbers as close as possible.

Solución:

Si las longitudes de los lados son $l$ y $w$ , entonces $2l+2w=50$ , así que $l+w=25$ .

El área más pequeña posible proviene de longitudes $1$ y $24$ , lo que da área $24$ .

El área más grande posible proviene del par de enteros más cercano con suma $25$ , a saber $12$ y $13$ , lo que da área $156$ .

La diferencia es $156-24=132$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If the side lengths are $l$ and $w$ , then $2l+2w=50$ , so $l+w=25$ .

The smallest possible area comes from side lengths $1$ and $24$ , giving area $24$ .

The largest possible area comes from the closest integer pair with sum $25$ , namely $12$ and $13$ , giving area $156$ .

The difference is $156-24=132$ .

Thus, D is the correct answer.

18.

Dos círculos que comparten el mismo centro tienen radios de $10$ metros y $20$ metros. Un cerdo hormiguero corre a lo largo del camino mostrado, comenzando en $A$ y terminando en $K.$ ¿Cuántos metros corre el cerdo hormiguero?

Two circles that share the same center have radii $10$ meters and $20$ meters. An aardvark runs along the path shown, starting at $A$ and ending at $K.$ How many meters does the aardvark run?

$\ 10\pi+20$

$\ 10\pi+30$

$\ 10\pi+40$

$\ 20\pi+20$

$\ 20\pi+40$

Conceptos:arco circunferencia

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Divide la ruta en arcos circulares y segmentos radiales rectos.

Break the route into circular arcs and straight radial segments.

Pista grande:

Un cuarto de círculo de radio $r$ tiene longitud $\frac{\pi r}{2}$ .

A quarter-circle of radius $r$ has length $\frac{\pi r}{2}$ .

Solución:

La circunferencia de un círculo es $\pi d = 2r\pi ,$ así que recorrer un cuarto de vuelta es $\dfrac {\pi r }2.$

Recorre un cuarto de vuelta alrededor del círculo grande, así que esta parte es $10 \pi$ metros. Luego va del círculo grande al círculo pequeño, que son $20-10=10$ metros.

Recorre un cuarto de vuelta alrededor del círculo pequeño, así que esta parte es $5 \pi$ metros. Luego atraviesa el diámetro del círculo pequeño, que son $10\cdot 2=20$ metros.

Luego recorre un cuarto de vuelta alrededor del círculo pequeño, así que esta parte es $5 \pi$ metros. Finalmente va del círculo pequeño al círculo grande, que son $20-10=10$ metros.

La longitud total es $10\pi + 10+5\pi + 20 + 5\pi + 10$ $=20\pi + 40.$

Por lo tanto, la respuesta es E.

The circumference of a circle is $\pi d = 2r\pi ,$ so going a quarter of the way around is $\dfrac {\pi r }2.$

He goes a quarter of the way around the large circle, so this part is $10 \pi$ meters. He then goes from the larger circle to the smaller circle, which is $20-10=10$ meters.

He goes a quarter of the way around the smaller circle, so this part is $5 \pi$ meters. He then goes through the diameter of the smaller circle, which is $10\cdot 2=20$ meters.

He then goes a quarter of the way around the smaller circle, so this part is $5 \pi$ meters. He finally goes from the smaller circle to the larger circle, which is $20-10=10$ meters.

The total length is $10\pi + 10+5\pi + 20 + 5\pi + 10$ $=20\pi + 40.$

Thus, the answer is E .

19.

Ocho puntos están espaciados a intervalos de una unidad alrededor de un cuadrado $2\times2$ , como se muestra. Se eligen al azar dos de los $8$ puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que los puntos estén a una unidad de distancia?

Eight points are spaced at intervals of one unit around a $2\times2$ square, as shown. Two of the $8$ points are chosen at random. What is the probability that the points are one unit apart?

$\ \dfrac{1}{4}$

$\ \dfrac{2}{7}$

$\ \dfrac{4}{11}$

$\ \dfrac{1}{2}$

$\ \dfrac{4}{7}$

Conceptos:probabilidad básica conteo de pares

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Cuenta el número total de pares de puntos no ordenados.

Count the total number of unordered pairs of points.

Pista grande:

Hay exactamente $8$ segmentos unitarios adyacentes alrededor del cuadrado.

There are exactly $8$ adjacent unit segments around the square.

Solución:

Cada punto tiene $2$ puntos que están a una unidad de distancia de él.

Por lo tanto, sin importar la elección del primer punto, $2$ de los otros $7$ puntos estarían a una unidad, así que la probabilidad es $\dfrac 27.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Each dot has $2$ dots that are one unit away from it.

Therefore, regardless of the choice of the first dot, $2$ of the other $7$ dots would be within one unit, so the probability is $\dfrac 27.$

Thus, the answer is B .

20.

Los estudiantes de la clase del señor Neatkin hicieron una prueba de caligrafía. Dos tercios de los niños y $\frac{3}{4}$ de las niñas aprobaron la prueba, y un número igual de niños y niñas la aprobó. ¿Cuál es el número mínimo posible de estudiantes en la clase?

The students in Mr. Neatkin’s class took a penmanship test. Two-thirds of the boys and $\frac{3}{4}$ of the girls passed the test, and an equal number of boys and girls passed the test. What is the minimum possible number of students in the class?

$\ 12$

$\ 17$

$\ 24$

$\ 27$

$\ 36$

Conceptos:mínimo común múltiplo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Sea $p$ el número común de niños y niñas que aprobaron.

Let the common number of passing boys and passing girls be $p$ .

Pista grande:

Entonces el total de niños y niñas es $\frac{3p}{2}$ y $\frac{4p}{3}$ , así que elige el menor $p$ que haga a ambos enteros.

Then total boys and girls are $\frac{3p}{2}$ and $\frac{4p}{3}$ , so choose the smallest $p$ that makes both whole.

Solución:

Sea $p$ el número común de niños y niñas que aprobaron.

Como $\dfrac{2}{3}$ de los niños aprobaron, el número de niños es $\dfrac{3p}{2}$ . Como $\dfrac{3}{4}$ de las niñas aprobaron, el número de niñas es $\dfrac{4p}{3}$ .

El menor $p$ positivo que hace enteros ambos conteos es $6$ . Entonces hay $9$ niños y $8$ niñas, para un total mínimo de $17$ estudiantes.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $p$ be the common number of boys and girls who passed.

Since $\dfrac{2}{3}$ of the boys passed, the number of boys is $\dfrac{3p}{2}$ . Since $\dfrac{3}{4}$ of the girls passed, the number of girls is $\dfrac{4p}{3}$ .

The smallest positive $p$ that makes both counts whole is $6$ . Then there are $9$ boys and $8$ girls, for a minimum total of $17$ students.

Thus, B is the correct answer.

21.

Jerry corta una cuña de un cilindro de mortadela de $6$ cm, como muestra la curva punteada. ¿Cuál opción de respuesta es la más cercana al volumen de su cuña en centímetros cúbicos?

Jerry cuts a wedge from a $6$ -cm cylinder of bologna as shown by the dashed curve. Which answer choice is closest to the volume of his wedge in cubic centimeters?

$\ 48$

$\ 75$

$\ 151$

$\ 192$

$\ 603$

Conceptos:cilindro volumen estimación

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

El cilindro tiene radio $4$ cm y longitud $6$ cm.

The cylinder has radius $4$ cm and length $6$ cm.

Pista grande:

El corte punteado toma la mitad del cilindro.

The dashed cut takes half the cylinder.

Solución:

El cilindro tiene diámetro $8$ cm, así que su radio es $4$ cm. Su longitud es $6$ cm.

Todo el cilindro tiene volumen $\pi r^2h=\pi\cdot4^2\cdot6=96\pi$ .

El corte punteado toma la mitad del cilindro, así que la cuña tiene volumen $48\pi$ , que es aproximadamente $151$ centímetros cúbicos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The cylinder has diameter $8$ cm, so its radius is $4$ cm. Its length is $6$ cm.

The whole cylinder has volume $\pi r^2h=\pi\cdot4^2\cdot6=96\pi$ .

The dashed cut takes half of the cylinder, so the wedge has volume $48\pi$ , which is about $151$ cubic centimeters.

Thus, C is the correct answer.

22.

¿Para cuántos valores enteros positivos de $n$ son $\dfrac{n}{3}$ y $3n$ ambos números enteros de tres dígitos?

For how many positive integer values of $n$ are both $\dfrac{n}{3}$ and $3n$ three-digit whole numbers?

$\ 12$

$\ 21$

$\ 27$

$\ 33$

$\ 34$

Conceptos:conteo de enteros en un rango desigualdad

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Sea $x=\frac{n}{3}$ . Entonces $n=3x$ y $3n=9x$ .

Let $x=\frac{n}{3}$ . Then $n=3x$ and $3n=9x$ .

Pista grande:

Tanto $x$ como $9x$ deben ser números enteros de tres dígitos.

Both $x$ and $9x$ must be three-digit whole numbers.

Solución:

Sea $x=\dfrac{n}{3}$ . Entonces $n=3x$ , así que $3n=9x$ .

Tanto $x$ como $9x$ deben ser números enteros de tres dígitos. Así, $100\le x$ y $9x\le999$ , de modo que $100\le x\le111$ .

Hay $111-100+1=12$ valores enteros de $x$ , y cada uno da un valor entero positivo de $n$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x=\dfrac{n}{3}$ . Then $n=3x$ , so $3n=9x$ .

Both $x$ and $9x$ must be three-digit whole numbers. Thus $100\le x$ and $9x\le999$ , so $100\le x\le111$ .

There are $111-100+1=12$ integer values of $x$ , and each gives one positive integer value of $n$ .

Thus, A is the correct answer.

23.

En el cuadrado $ABCE,$ $AF=2FE$ y $CD=2DE.$ ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle BFD$ y el área del cuadrado $ABCE$ ?

In square $ABCE,$ $AF=2FE$ and $CD=2DE.$ What is the ratio of the area of $\triangle BFD$ to the area of square $ABCE?$

$\ \dfrac{1}{6}$

$\ \dfrac{2}{9}$

$\ \dfrac{5}{18}$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{7}{20}$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Como solo se necesita una razón, elige una longitud de lado conveniente para el cuadrado.

Because only a ratio is needed, choose a convenient side length for the square.

Pista grande:

Toma la longitud del lado como $3,$ así las longitudes divididas son $2$ y $1.$

Take the side length as $3$ so the split lengths are $2$ and $1.$

Solución:

Como la respuesta es una razón, elige la longitud del lado del cuadrado igual a $3$ . Entonces $AF=2$ , $FE=1$ , $CD=2$ y $DE=1$ .

El cuadrado tiene área $9$ . Las áreas de los triángulos $ABF$ y $BCD$ son cada una $\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot2=3$ .

El triángulo $DEF$ tiene área $\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot1=\dfrac{1}{2}$ .

Así, $[BFD]=9-3-3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$ , y la razón buscada es $\dfrac{\frac{5}{2}}{9}=\dfrac{5}{18}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Because the answer is a ratio, choose the side length of the square to be $3$ . Then $AF=2$ , $FE=1$ , $CD=2$ , and $DE=1$ .

The square has area $9$ . The areas of triangles $ABF$ and $BCD$ are each $\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot2=3$ .

Triangle $DEF$ has area $\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot1=\dfrac{1}{2}$ .

So $[BFD]=9-3-3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$ , and the desired ratio is $\dfrac{\frac{5}{2}}{9}=\dfrac{5}{18}$ .

Thus, C is the correct answer.

24.

Diez fichas numeradas del $1$ al $10$ se colocan boca abajo. Se voltea una ficha al azar y se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los números de la ficha y el dado sea un cuadrado?

Ten tiles numbered $1$ through $10$ are turned face down. One tile is turned up at random, and a die is rolled. What is the probability that the product of the numbers on the tile and the die will be a square?

$\ \dfrac{1}{10}$

$\ \dfrac{1}{6}$

$\ \dfrac{11}{60}$

$\ \dfrac{1}{5}$

$\ \dfrac{7}{30}$

Conceptos:probabilidad básica cuadrado perfecto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Hay $10\cdot 6$ pares ficha-dado igualmente probables.

There are $10\cdot 6$ equally likely tile-die pairs.

Pista grande:

Para cada lanzamiento del dado, cuenta los números de ficha que hacen que el producto sea un cuadrado.

For each die roll, count tile numbers that make the product a square.

Solución:

Si el número obtenido fue $1,$ entonces la ficha puede ser $1,$ $4,$ $9,$ lo que da $3$ combinaciones.

Si el número obtenido fue $2,$ entonces la ficha puede ser $2,$ $8,$ lo que da $2$ combinaciones.

Si el número obtenido fue $3,$ entonces la ficha puede ser $3,$ lo que da $1$ combinación.

Si el número obtenido fue $4,$ entonces la ficha puede ser $1,$ $4,$ $9,$ lo que da $3$ combinaciones.

Si el número obtenido fue $5,$ entonces la ficha puede ser $5,$ lo que da $1$ combinación.

Si el número obtenido fue $6,$ entonces la ficha puede ser $6,$ lo que da $1$ combinación.

El número total de combinaciones es $3+2+1+3+1+1=11.$ Hay $60$ combinaciones, cada una con la misma probabilidad, así que la probabilidad es $\dfrac{11}{60} .$

Por lo tanto, la respuesta es C.

If the rolled number was $1,$ then the tile can be $1,$ $4,$ $9,$ yielding $3$ combinations.

If the rolled number was $2,$ then the tile can be $2,$ $8,$ yielding $2$ combinations.

If the rolled number was $3,$ then the tile can be $3,$ yielding $1$ combination.

If the rolled number was $4,$ then the tile can be $1,$ $4,$ $9,$ yielding $3$ combinations.

If the rolled number was $5,$ then the tile can be $5,$ yielding $1$ combination.

If the rolled number was $6,$ then the tile can be $6,$ yielding $1$ combination.

The total number of combinations is $3+2+1+3+1+1=11.$ There are $60$ combinations each with equal likelihood, so the probability is $\dfrac{11}{60} .$

Thus, the answer is C .

25.

Se muestra el diseño artístico ganador de Margie. El círculo más pequeño tiene radio $2$ pulgadas, y el radio de cada círculo sucesivo aumenta $2$ pulgadas. ¿Aproximadamente qué porcentaje del diseño está sombreado?

Margie’s winning art design is shown. The smallest circle has radius $2$ inches, with each successive circle’s radius increasing by $2$ inches. Approximately what percent of the design is shaded?

$\ 42$

$\ 44$

$\ 45$

$\ 46$

$\ 48$

Conceptos:área del círculo razón de áreas porcentaje

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

El área total del diseño es el área del círculo más grande.

The total design area is the area of the largest circle.

Pista grande:

Las regiones sombreadas son discos o anillos alternados cuyos radios aumentan en $2.$

The shaded regions are alternating disks or annuli with radii increasing by $2.$

Solución:

El círculo más grande tiene radio $12$ , así que todo el diseño tiene área $12^2\pi=144\pi$ .

Las partes sombreadas tienen áreas $2^2\pi=4\pi$ , $(6^2-4^2)\pi=20\pi$ y $(10^2-8^2)\pi=36\pi$ .

El área total sombreada es $4\pi+20\pi+36\pi=60\pi$ , así que la fracción sombreada es $\dfrac{60\pi}{144\pi}=\dfrac{5}{12}$ , que es aproximadamente $42\%$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The largest circle has radius $12$ , so the entire design has area $12^2\pi=144\pi$ .

The shaded parts have areas $2^2\pi=4\pi$ , $(6^2-4^2)\pi=20\pi$ , and $(10^2-8^2)\pi=36\pi$ .

The total shaded area is $4\pi+20\pi+36\pi=60\pi$ , so the shaded fraction is $\dfrac{60\pi}{144\pi}=\dfrac{5}{12}$ , which is about $42\%$ .

Thus, A is the correct answer.