2006 AMC 8 Problema 22

Question

Se colocan tres enteros positivos distintos de un dígito en la fila inferior de celdas. Los números de celdas adyacentes se suman y la suma se coloca en la celda encima de ellas. En la segunda fila, se continúa el mismo proceso para obtener un número en la celda superior. ¿Cuál es la diferencia entre el número mayor y el menor posibles en la celda superior?

Three different one-digit positive integers are placed in the bottom row of cells. Numbers in adjacent cells are added and the sum is placed in the cell above them. In the second row, continue the same process to obtain a number in the top cell. What is the difference between the largest and smallest numbers possible in the top cell?

16

24

25

26

35

Respuesta: D

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Escribe las tres entradas inferiores como

a,

b,

y

c

.

Write the three bottom entries as

a,

b,

and

c

.

Pista grande:

La entrada inferior del medio se cuenta dos veces en el número superior.

The middle bottom entry is counted twice in the top number.

Solución:

Si las celdas inferiores contienen

a,

b,

y

c,

la fila del medio tendrá

a+b

y

b+c

.

Esto significa que la fila superior tendrá

a+2b+c

. Para minimizarlo, pon

b=1

en el medio y

2

y

3

en las celdas exteriores. Esto da un número superior de

7

.

Para maximizarlo, pon

b=9

en el medio y

7

y

8

en las celdas exteriores. Esto da un número superior de

33

. La diferencia buscada es

33-7=26

.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If the lower cells contain

a,

b,

and

c,

the middle row will have

a+b

and

b+c

.

This means that the top row will have

a+2b+c

. To minimize this, put

b=1

in the middle and

2

and

3

in the outer cells. This yields a top number of

7

.

To maximize it, put

b=9