Question

Cada uno de los cinco números $1, 4, 7, 10,$ y $13$ se coloca en uno de los cinco cuadrados de modo que la suma de los tres números de la fila horizontal sea igual a la suma de los tres números de la columna vertical. El mayor valor posible para la suma horizontal o vertical es

Each of the five numbers $1, 4, 7, 10,$ and $13$ is placed in one of the five squares so that the sum of the three numbers in the horizontal row equals the sum of the three numbers in the vertical column. The largest possible value for the horizontal or vertical sum is

$20$

$21$

$22$

$24$

$30$

Respuesta: D

Conceptos:optimización doble conteo

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Sea $x$ el número del centro. La suma horizontal más la suma vertical cuenta cada número una vez, salvo el número central, que se cuenta dos veces.

Por tanto, el doble de la suma común es $1+4+7+10+13+x$ $=35+x$ . Este valor es máximo cuando $x=13$ .

Así, la suma común es como máximo $\dfrac{35+13}{2}=24$ , y se puede alcanzar: se coloca $13$ en el centro, $1$ y $10$ en los extremos de una fila, y $4$ y $7$ en los extremos de la otra. Ambas sumas son $24$ .

Así, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number in the center. The horizontal sum plus the vertical sum counts every number once, except the center number is counted twice.

So twice the common sum is $1+4+7+10+13+x$ $=35+x$ . This is largest when $x=13$ .

The largest common sum is therefore at most $\dfrac{35+13}{2}=24$ , and it is attainable: put $13$ in the center, $1$ and $10$ at the ends of one row, and $4$ and $7$ at the ends of the other. Both sums are $24$ .

Thus, D is the correct answer.

1999 AMC 8 Problema 11

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

El Problema 11 en otros años