1992 AMC 12 Problema 29

Question

Una moneda “sesgada” tiene probabilidad

\frac23

de caer cara. Si se lanza esta moneda

50

veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número total de caras sea par?

An “unfair” coin has a

\frac23

probability of turning up heads. If this coin is tossed

50

times, what is the probability that the total number of heads is even?

2^5\left(\frac23\right)^{50}

\frac12\left(1-\frac1{3^{50}}\right)

\frac12

\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right)

\frac23

Sigue la diferencia entre las probabilidades de obtener un número par y un número impar de caras

Track the difference between the probabilities of an even and an odd number of heads

Un lanzamiento multiplica esa diferencia por

P(T)-P(H)

One toss multiplies that difference by

P(T)-P(H)

Sean

E_n

y

O_n

las probabilidades de obtener un número par e impar de caras, respectivamente, después de

n

lanzamientos. Entonces

E_n+O_n=1,

mientras que

\begin{aligned} E_{n+1}-O_{n+1} &=\left(\frac13-\frac23\right)\\ &\qquad\cdot(E_n-O_n). \end{aligned}

Como

E_0-O_0=1,

tenemos

E_{50}-O_{50}=(-\frac{1}{3})^{50}=3^{-50}.

Al resolver las ecuaciones de suma y diferencia se obtiene

E_{50}=\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

E_n

and

O_n

be the probabilities of an even and odd number of heads after

n

tosses. Then

E_n+O_n=1,

while

\begin{aligned} E_{n+1}-O_{n+1} &=\left(\frac13-\frac23\right)\\ &\qquad\cdot(E_n-O_n). \end{aligned}

Since

E_0-O_0=1,

we have

E_{50}-O_{50}=(-\frac{1}{3})^{50}=3^{-50}.

Solving the sum and difference equations gives

E_{50}=\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right).

Thus the correct answer is D.

El Problema 29 en otros años