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1988 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1988 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1988 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

En la figura, AB⊥BC,AB\perp BC, BC⊥CD,BC\perp CD, y BCBC es tangente a la circunferencia de centro OO y diámetro AD.AD. ¿En cuál de los casos siguientes el área de ABCDABCD es un entero?
In the figure, AB⊥BC,AB\perp BC, BC⊥CD,BC\perp CD, and BCBC is tangent to the circle with center OO and diameter AD.AD. In which one of the following cases is the area of ABCDABCD an integer?
AB=3,AB=3, CD=1CD=1
AB=5,AB=5, CD=2CD=2
AB=7,AB=7, CD=3CD=3
AB=9,AB=9, CD=4CD=4
AB=11,AB=11, CD=5CD=5
Respuesta: D
Conceptos:circle tangencypotencia de un puntotrapezoid area
Nivel de dificultad: 2280
Pista pequeña:
Sea MM el punto de tangencia y usa el diámetro para formar un rectángulo dentro del trapecio
Let the tangent point be MM and use the diameter to form a rectangle inside the trapezoid
Pista grande:
La potencia del punto BB relaciona la mitad de BCBC con ABAB y CDCD
Power of point BB relates half of BCBC to ABAB and CDCD
Solución:
El punto de tangencia es el punto medio de BC,BC, y la relación entre tangente y secante da (BC2)2=AB⋅CD.(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD. Por tanto, BC=2AB⋅CD,BC=2\sqrt{AB\cdot CD}, y el área del trapecio es Aˊrea=AB+CD2BC=(AB+CD)AB⋅CD. \begin{aligned} \text{Área} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned} Solo AB=9, CD=4AB=9,\ CD=4 hace que el producto bajo el radical sea un cuadrado; el área es 13⋅6=78.13\cdot6=78.
Por tanto, la respuesta correcta es D.
The tangent point is the midpoint of BC,BC, and the tangent-secant relation gives (BC2)2=AB⋅CD.(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD. Thus BC=2AB⋅CD,BC=2\sqrt{AB\cdot CD}, and the trapezoid area is Area=AB+CD2BC=(AB+CD)AB⋅CD. \begin{aligned} \text{Area} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned} Only AB=9, CD=4AB=9,\ CD=4 makes the product under the radical a square; the area is 13⋅6=78.13\cdot6=78.
Thus the correct answer is D.
Problema 26#26
Examen completo
Problema 28#28

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