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1961 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1961 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1961 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

Dos polígonos equiangulares P1P_1 y P2P_2 tienen distinto número de lados; cada ángulo de P1P_1 mide xx grados y cada uno de P2P_2, kxkx grados, donde kk es entero mayor que 1.1. El número de pares posibles (x,k)(x,k) es:
Given two equiangular polygons P1P_1 and P2P_2 with different numbers of sides; each angle of P1P_1 is xx degrees and each angle of P2P_2 is kxkx degrees, where kk is an integer greater than 1.1. The number of possibilities for the pair (x,k)(x,k) is:
infinito
infinite
finito, pero mayor que dos
finite, but greater than two
dos
two
uno
one
cero
zero
Respuesta: D
Conceptos:polígono equiángulosuma de ángulosdesigualdad
Nivel de dificultad: 1710
Pista pequeña:
Cada ángulo de un polígono equiangular de nn lados mide 180∘−360∘n180^\circ-\frac{360^\circ}{n}
An equiangular nn-gon has angle 180∘−360∘n180^\circ-\frac{360^\circ}{n}
Pista grande:
Usa kx<180∘kx<180^\circ y k≥2k\ge2 para limitar el ángulo menor xx
Use kx<180∘kx<180^\circ and k≥2k\ge2 to constrain the smaller angle xx
Solución:
Todo ángulo poligonal mide al menos 60∘,60^\circ, y todo ángulo de un polígono convexo es menor que 180∘.180^\circ. Como k≥2k\ge2 y kx<180∘,kx<180^\circ, necesitamos x<90∘.x<90^\circ. El único ángulo equiangular posible en [60∘,90∘)[60^\circ,90^\circ) es x=60∘.x=60^\circ. Entonces k=2k=2 da kx=120∘,kx=120^\circ, el ángulo de un hexágono regular; un kk mayor es imposible. Hay un solo par.
Así, la respuesta correcta es D.
Every polygon angle is at least 60∘,60^\circ, and every convex polygon angle is less than 180∘.180^\circ. Since k≥2k\ge2 and kx<180∘,kx<180^\circ, we need x<90∘.x<90^\circ. The only possible equiangular polygon angle in [60∘,90∘)[60^\circ,90^\circ) is the triangle angle x=60∘.x=60^\circ. Then k=2k=2 gives kx=120∘,kx=120^\circ, the angle of a regular hexagon; larger kk is impossible. Hence there is one pair.
Thus, the correct answer is D.
Problema 26#26
Examen completo
Problema 28#28

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