Question

La suma se puede expresar como $a-\dfrac{1}{b!},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ? $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$

The sum $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$ can be expressed as $a-\dfrac{1}{b!},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$\ 2020$

$\ 2021$

$\ 2022$

$\ 2023$

$\ 2024$

Respuesta: D

Conceptos:telescópica factorial inducción

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

Afirmamos que $a=1, b=2022,$ $a+b=2023.$ $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ $1-\frac1{2022!}.$

Para demostrarlo, podemos usar inducción. Si entonces la suma es Si se cumple para entonces Esto prueba nuestra fórmula, así que obtenemos la respuesta sustituyendo Nuestra respuesta es lo que da y hace que nuestra respuesta sea Así, nuestra respuesta es D.

Each term telescopes because $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ Summing makes every intermediate factorial reciprocal cancel, leaving $1-\frac1{2022!}.$ Hence $a=1, b=2022,$ and $a+b=2023.$

Thus, our answer is D .

2022 AMC 10B Problema 9

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

El Problema 9 en otros años