Question

En cierto juego de cartas, a un jugador se le reparte una mano de $10$ cartas de una baraja de $52$ cartas distintas. El número de manos distintas (sin orden) que se le pueden repartir al jugador puede escribirse como $158A00A4AA0.$ ¿Cuál es el dígito $A$ ?

In a certain card game, a player is dealt a hand of $10$ cards from a deck of $52$ distinct cards. The number of distinct (unordered) hands that can be dealt to the player can be written as $158A00A4AA0.$ What is the digit $A?$

$2$

$3$

$4$

$6$

$7$

Respuesta: A

Conceptos:combinaciones dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1620

Solución en video:

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Solución escrita:

Después de cancelar factores en el coeficiente binomial, $\begin{aligned} \binom{52}{10} &=10\cdot17\cdot13\cdot7\\ &\quad\cdot47\cdot46\cdot11\cdot43. \end{aligned}$ Al dividir $158A00A4AA0$ por el último factor $10,$ la cifra de las unidades del producto restante es $A.$

Trabajando módulo $10,$ $\begin{aligned} A&\equiv7\cdot3\cdot7\cdot7\cdot6\cdot1\cdot3\\ &\equiv2\pmod{10}. \end{aligned}$ Por tanto, $A=2.$ Así, A es la respuesta correcta.

After canceling factors in the binomial coefficient, $\begin{aligned} \binom{52}{10} &=10\cdot17\cdot13\cdot7\\ &\quad\cdot47\cdot46\cdot11\cdot43. \end{aligned}$ Dividing $158A00A4AA0$ by the final factor $10,$ the units digit of the remaining product is $A.$

Working modulo $10,$ $\begin{aligned} A&\equiv7\cdot3\cdot7\cdot7\cdot6\cdot1\cdot3\\ &\equiv2\pmod{10}. \end{aligned}$ Hence $A=2.$ Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1620

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Solución escrita:

El Problema 19 en otros años