Question

¿Cuál es el mayor entero positivo de tres cifras $n$ para el cual la suma de los primeros $n$ enteros positivos no es un divisor del producto de los primeros $n$ enteros positivos?

What is the greatest three-digit positive integer $n$ for which the sum of the first $n$ positive integers is not a divisor of the product of the first $n$ positive integers?

$995$

$996$

$997$

$998$

$999$

Respuesta: B

Conceptos:factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

La suma de los primeros $n$ números es $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$ Necesitamos que esta cantidad no divida a $n!.$

Sea $m=n+1$ . Si $m$ es compuesto, escribimos $m=ab$ con $2\le a\le b$ . Si $a<b$ , los factores distintos $a$ y $b$ aparecen ambos en $(m-2)!=(n-1)!.$ Si $a=b$ , tenemos $a\ge3$ , y los dos múltiplos $a$ y $2a$ aparecen ambos en $(m-2)!$ , así que $a^2=m$ también divide ese factorial. Por tanto, $m\mid(n-1)!,$ y en consecuencia $\frac{n(n+1)}2\mid n!.$

Recíprocamente, si $n+1$ es primo, ese factor primo no aparece en $n!$ , así que la divisibilidad falla. Como $997$ es primo, mientras que $998,999,$ y $1000$ son compuestos, el mayor valor de tres cifras es $997-1=996.$

Por tanto, B es la respuesta correcta.

The sum of the first $n$ numbers is $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$ We need this to not divide $n!.$

Put $m=n+1$ . If $m$ is composite, write $m=ab$ with $2\le a\le b$ . When $a<b$ , the distinct factors $a$ and $b$ both occur in $(m-2)!=(n-1)!$ . When $a=b$ , we have $a\ge3$ , and the two multiples $a$ and $2a$ both occur in $(m-2)!$ , so $a^2=m$ divides that factorial as well. Thus $m\mid(n-1)!$ , and consequently $\frac{n(n+1)}2\mid n!.$

Conversely, if $n+1$ is prime, that prime factor does not occur in $n!$ , so the divisibility fails. Since $997$ is prime while $998,999,$ and $1000$ are composite, the greatest three-digit value is $997-1=996.$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 9

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

El Problema 9 en otros años