Question

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=5$ y $BC=4.$ El punto $E$ está en $\overline{AB}$ de modo que $EB=1,$ el punto $G$ está en $\overline{BC}$ de modo que $CG=1,$ y el punto $F$ está en $\overline{CD}$ de modo que $DF=2.$ Los segmentos $\overline{AG}$ y $\overline{AC}$ cortan a $\overline{EF}$ en $Q$ y $P,$ respectivamente. ¿Cuál es el valor de $\dfrac{PQ}{EF}$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=5$ and $BC=4.$ Point $E$ lies on $\overline{AB}$ so that $EB=1,$ point $G$ lies on $\overline{BC}$ so that $CG=1,$ and point $F$ lies on $\overline{CD}$ so that $DF=2.$ Segments $\overline{AG}$ and $\overline{AC}$ intersect $\overline{EF}$ at $Q$ and $P,$ respectively. What is the value of $\dfrac{PQ}{EF}?$

$~\dfrac{\sqrt{3}}{16}$

$~\dfrac{\sqrt{2}}{13}$

$~\dfrac{9}{82}$

$~\dfrac{10}{91}$

$~\dfrac19$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza rectas paralelas rectángulo

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Tenemos $AE=AB-EB=4$ y $FC=DC-DF=3.$ Como $AE\parallel FC,$ los triángulos $AEP$ y $CFP$ son semejantes. Por tanto, $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,$ así que $\frac{PF}{EF}=\frac37.$

Prolonguemos $AG$ hasta que corte a la recta $CD$ en $X.$ Como $BG=3,$ la semejanza da $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,$ y por tanto $DX=\frac{20}{3}$ . Así, $FX=DX-DF=\frac{14}{3}.$ Como $AE\parallel FX,$ los triángulos $AEQ$ y $XFQ$ son semejantes, por lo que $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.$ En consecuencia, $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.$

Se sigue que $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

We have $AE=AB-EB=4$ and $FC=DC-DF=3.$ Since $AE\parallel FC,$ the triangles $AEP$ and $CFP$ are similar. Therefore $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,$ so $\frac{PF}{EF}=\frac37.$

Extend $AG$ to meet line $CD$ at $X.$ Because $BG=3,$ similarity gives $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,$ and hence $DX=\frac{20}{3}$ . Thus $FX=DX-DF=\frac{14}{3}.$ Since $AE\parallel FX,$ triangles $AEQ$ and $XFQ$ are similar, so $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.$ Consequently $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.$

It follows that $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10B Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

El Problema 19 en otros años