Question

Dos circunferencias concéntricas tienen radios $1$ y $2.$ Se eligen dos puntos sobre la circunferencia exterior de manera independiente y uniforme al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda que une los dos puntos corte la circunferencia interior?

Two concentric circles have radii $1$ and $2.$ Two points on the outer circle are chosen independently and uniformly at random. What is the probability that the chord joining the two points intersects the inner circle?

$\ \dfrac{1}{6}$

$\ \dfrac{1}{4}$

$\ \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{1}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad geométrica cuerda recta tangente

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Fijemos el primer extremo $A$ en el círculo exterior. Tracemos desde $A$ las dos cuerdas tangentes al círculo interior y llamemos $B$ y $C$ a sus otros extremos. Una cuerda desde $A$ corta el círculo interior exactamente cuando su segundo extremo está en el arco menor $BC$ .

Si $O$ es el centro común y $D$ es un punto de tangencia, entonces $\triangle AOD$ es rectángulo, con $OA=2$ y $OD=1$ . Por tanto, $\angle OAD=30^\circ$ . Las dos cuerdas tangentes forman entonces un ángulo de $60^\circ$ en $A$ , así que el arco menor interceptado $BC$ mide $120^\circ$ .

Por tanto, la probabilidad es $\dfrac {120^\circ}{360^\circ} = \dfrac 13 .$

Así, la respuesta correcta es D.

Fix the first endpoint $A$ on the outer circle. Draw the two chords from $A$ that are tangent to the inner circle, and call their other endpoints $B$ and $C$ . A chord from $A$ meets the inner circle exactly when its second endpoint lies on the minor arc $BC$ .

If $O$ is the common center and $D$ is a tangency point, then $\triangle AOD$ is right, with $OA=2$ and $OD=1$ . Hence $\angle OAD=30^\circ$ . The two tangent chords therefore make a $60^\circ$ angle at $A$ , so the intercepted minor arc $BC$ measures $120^\circ$ .

Therefore, the probability is $\dfrac {120^\circ}{360^\circ} = \dfrac 13 .$

Thus, the correct answer is D .

2014 AMC 10B Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

El Problema 19 en otros años