2013 AMC 10B Problema 19

Question

Los números reales

c,

b,

a

forman una sucesión aritmética con

a \geq b \geq c \geq 0.

La cuadrática

ax^2+bx+c

tiene exactamente una raíz. ¿Cuál es esta raíz?

The real numbers

c,

b,

a

form an arithmetic sequence with

a \geq b \geq c \geq 0.

The quadratic

ax^2+bx+c

has exactly one root. What is this root?

-7-4\sqrt{3}

-2-\sqrt{3}

-1

-2+\sqrt{3}

-7+4\sqrt{3}

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Escribe la sucesión aritmética como

b-d,b,b+d

.

Write the arithmetic sequence as

b-d,b,b+d

Pista grande:

Usa la condición de discriminante cero.

Use the zero discriminant condition

Solución:

Sea

d

la diferencia común, así que

c=b-d

y

a=b+d

.

Una cuadrática con exactamente una raíz real tiene discriminante

0

, así que

b^2-4ac=0

. Al sustituir se obtiene

b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2

, de donde

4d^2=3b^2

.

Como

b,d\ge0

,

2d=\sqrt3 b

. La raíz doble es

\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3

.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the common difference be

d

, so

c=b-d

and

a=b+d

.

A quadratic with exactly one real root has discriminant

0

, so

b^2-4ac=0

. Substituting gives

b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2

, hence

4d^2=3b^2

.

Since

b,d\ge0

,

2d=\sqrt3 b

. The double root is

\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3

.

Thus, the correct answer is D .