2011 AMC 10B Problema 19

Question

¿Cuál es el producto de todas las raíces de la siguiente ecuación?

\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{x^2 - 16}

What is the product of all the roots of the equation below?

\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{x^2 - 16}

-64

-24

-9

24

576

Eleva al cuadrado ambos lados después de verificar que los radicales estén definidos.

Square both sides after checking the radicals are defined

Escribe la ecuación en términos de

|x|

.

Write the equation in terms of

|x|

Como

x^2=|x|^2,

al elevar la ecuación al cuadrado se obtiene

\begin{aligned} 5|x|+8 &= |x|^2-16,\\ |x|^2-5|x|-24&=0,\\ (|x|-8)(|x|+3)&=0. \end{aligned}

Las posibilidades algebraicas para

|x|

son

8

y

-3,

pero un valor absoluto no puede ser negativo. Por tanto,

|x|=8,

así que las raíces son

8

y

-8

, cuyo producto es

-64.

Así, la respuesta correcta es A.

Because

x^2=|x|^2,

squaring the equation gives

\begin{aligned} 5|x|+8 &= |x|^2-16,\\ |x|^2-5|x|-24&=0,\\ (|x|-8)(|x|+3)&=0. \end{aligned}

The algebraic possibilities for

|x|

are

8

and

-3,

but an absolute value cannot be negative. Hence

|x|=8,

so the roots are

8

and

-8

, with product

-64.

Thus, the correct answer is A .

El Problema 19 en otros años