1996 AMC 12 第 27 题

Question

考虑两个实心球体：一个球心为

(0,0,\frac{21}{2})

，半径为

6

；另一个球心为

(0,0,1)

，半径为

\frac92

。两个球体的交集中有多少个坐标全为整数的点

(x,y,z)

（格点）？

Consider two solid spherical balls, one centered at

(0,0,\frac{21}{2})

with radius

6,

and the other centered at

(0,0,1)

with radius

\frac92.

How many points

(x,y,z)

with only integer coordinates (lattice points) are there in the intersection of the balls?

7

9

11

13

15

答案：D

知识点：lattice points spheres inequalities

难度评级：2100

小提示：

先取两个球体中

z

坐标可能整数范围的交集

First intersect the possible integer ranges for the

z

-coordinate in the two balls

大提示：

在唯一可能的高度，把两个球面不等式都化为对

x^2+y^2

的限制

At the only possible height, reduce both sphere inequalities to a bound on

x^2+y^2

解答：

第一个球体允许的整数高度为

5

到

16

，第二个允许的整数高度为

-3

到

5

，所以交集中的格点必须满足

z=5

。在这个高度，两个限制为

\begin{aligned} x^2+y^2 &\le36-\left(5-\frac{21}{2}\right)^2\\ &=\frac{23}{4},\\ x^2+y^2 &\le\frac{81}{4}-(5-1)^2\\ &=\frac{17}{4} \end{aligned}\text{。}

因此

x^2+y^2

可以是

0,1,2

或

4

。它们分别给出

1,4,4

和

4

个有序整数对，共有

13

个点。正确答案是 D。

The first ball permits integer heights

5

through

16,

while the second permits

-3

through

5,

so an intersection lattice point must have

z=5.

At that height the two bounds are

\begin{aligned} x^2+y^2 &\le36-\left(5-\frac{21}{2}\right)^2\\ &=\frac{23}{4},\\ x^2+y^2 &\le\frac{81}{4}-(5-1)^2\\ &=\frac{17}{4}. \end{aligned}

Thus

x^2+y^2

can be

0,1,2,

or

4.

These give

1,4,4,

and

4

ordered integer pairs, respectively, for

13

points. The correct answer is D.

1996 AMC 12 第 27 题

答案：D

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题