2003 AIME I 第 1 题

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1.

已知

\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!

，其中

k

和

n

是正整数，且

n

尽可能大。求

k + n

。

Given that

\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,

where

k

and

n

are positive integers and

n

is as large as possible, find

k + n.

答案

答案：839

知识点：阶乘极限情形界定

难度评级：1670

小提示：

先计算里面的阶乘：

3! = 6

，所以原式是

\frac{720!}{6}

。

Compute the inner factorials:

3! = 6,

so the expression is

\frac{720!}{6}

大提示：

写成

720! = 720 \cdot 719!

，并注意若

n = 720

，则

k \cdot n!

会太大。

Write

720! = 720 \cdot 719!

and note that

n = 720

would make

k \cdot n!

too large

解答：

因为

3! = 6

且

6! = 720

，原式为

\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719! \end{aligned}\text{。}

若

n

为

720

或更大，则

k \cdot n! \ge 720!

，这超过了

\frac{720!}{6}

。因此

n

的最大可能值是

719

，此时

k = 120

，所以

k + n = 120 + 719 = 839

。

Since

3! = 6

and

6! = 720,

the expression is

\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719!. \end{aligned}

If

n

were

720

or more, then

k \cdot n! \ge 720!,

which exceeds

\frac{720!}{6}.

So the largest possible value of

n

is

719,

achieved with

k = 120,

and

k + n = 120 + 719 = 839.