Question

求所有能被自身每一位数字整除的正两位整数之和。

Find the sum of all positive two-digit integers that are divisible by each of their digits.

答案

答案：630

难度评级：1950

解答：

设这个数为 $10a + b$ ，其中 $a$ 是十位数字， $b$ 是个位数字。因为 $a \mid 10a + b$ ，必须有 $a \mid b$ ，所以 $b = ka$ ，其中 $k$ 为正整数。又因为 $b \mid 10a + b$ ，必须有 $b \mid 10a$ ，即 $ka \mid 10a$ ，所以 $k \mid 10$ 。由于 $b = ka \le 9$ ，可能的取值是 $k = 1$ $2$ 和 $5$ 。

当 $k = 1$ 时，数为 $11, 22, \ldots, 99$ ，和为 $11 \cdot 45 = 495$ 。当 $k = 2$ 时，数为 $12, 24, 36, 48$ ，和为 $120$ 。当 $k = 5$ 时，唯一的数是 $15$ 。

总和为 $495 + 120 + 15 = 630$ 。

Let the number be $10a + b$ with tens digit $a$ and units digit $b.$ Since $a \mid 10a + b,$ we need $a \mid b,$ so $b = ka$ for some positive integer $k.$ Since $b \mid 10a + b,$ we need $b \mid 10a,$ that is $ka \mid 10a,$ so $k \mid 10.$ Because $b = ka \le 9,$ only $k = 1,$ $2,$ and $5$ are possible.

For $k = 1$ the numbers are $11, 22, \ldots, 99,$ with sum $11 \cdot 45 = 495.$ For $k = 2$ they are $12, 24, 36, 48,$ with sum $120.$ For $k = 5$ the only one is $15.$

The total is $495 + 120 + 15 = 630.$

2001 AIME I 第 1 题

答案：630

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 1 题